Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Lời giải:

Xét ADFC có: $\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90°$ (Vì AD ⊥ BC và CF ⊥ AK)

Suy ra: ADFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.

⇒ $\widehat{DFA}=\widehat{DCA}$ (cùng chắn cung AD) hay $\widehat{DFA}=\widehat{BCA}$

Mà $\widehat{BKA}=\widehat{BCA}$ (góc nội tiếp)

Suy ra: $\widehat{DFA}=\widehat{BKA}$

Mà 2 góc $\widehat{DFA};\widehat{BKA}$ ở vị trí đồng bị nên DF // BK

Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB

Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).

Lại có: MN ⊥ DF

⇒ EM ⊥ DF

AK là đường kính, BC là đây cung (1)

⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.