Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH ; Gọi M; N lần lượt là hình chiếu của H trên AB; AC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH ; Gọi M; N lần lượt là hình chiếu của H trên AB; AC. Chứng minh: MN = AH.sin $\widehat{A}$.

Lời giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, AHC có:

AH² = AM.AB

AH² = AN.AC

Suy ra: AM.AB = AN. AC

⇒ $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

Xét tam giác AMN và tam giác ABC có:

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

$\widehat{A}$ chung

⇒ ∆AMN ∽ ∆ABC (c.g.c)

⇒ $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{MN}{BC}\Rightarrow \frac{MN}{AN}=\frac{BC}{AB}$

⇒ $MN=\frac{BC.AN}{AB}=\frac{BC.AN.AC}{AB.AC}=\frac{BC.A{H}^2}{AB.AC}$ (1)

Lại có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat{A}$

Suy ra: $AH.BC=AB.AC.\sin \widehat{A}$ (2)

Thay (2) vào (1) có: $MN=\frac{AH.AB.AC.\sin \widehat{A}}{AB.AC}=AH.\sin \widehat{A}$ .