Cho tam giác ABC, IG vuông góc với IC trong đó I là tâm đường tròn nội tiếp

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho tam giác ABC, IG vuông góc với IC trong đó I là tâm đường tròn nội tiếp, G là trọng tâm. Chứng minh $\frac{a+b+c}{3}=\frac{2ab}{a+b}$ .

Lời giải:

Ta chứng minh $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

⇒ $a\left(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CA}\right)+b\left(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CB}\right)+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

⇒ $\overrightarrow{CI}=\frac{1}{a+b+c}\left(a.\overrightarrow{CA}+b.\overrightarrow{CB}\right)$

⇒ $\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{CI}-\overrightarrow{CG}=\left(\frac{a}{a+b+c}-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{CA}+\left(\frac{b}{a+b+c}-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{CB}$

Khi đó: ⇔ $\left[\left(2a-b-c\right)\overrightarrow{CA}+\left(2b-a-c\right)\overrightarrow{CB}\right]\left(a\overrightarrow{CA}+b\overrightarrow{CB}\right)=\overrightarrow{0}$

⇔ $\left(ab+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\right)\left[b\left(2a-b-c\right)+a\left(2b-a-c\right)\right]=0$

Do $\left(ab+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\right)=ab+ab\cos C=ab\left(1+\cos C\right)>0$

Nên ta có: b(2a – b – c) + a(2b – a – c) = 0

⇔ b(3a – a – b – c) + a(3b – a – b – c) = 0

⇔ 6ab = (a + b)(a + b + c)

⇔$\frac{a+b+c}{3}=\frac{2ab}{a+b}$ .