Cho tam giác ABC có góc B = góc C = 40 độ . Kẻ phân giác BD. Chứng minh BD + AD = BC

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}=40°$ . Kẻ phân giác BD.

Chứng minh BD + AD = BC.

Lời giải:

Kẻ MD // BC (M thuộc AB)

Lấy N thuộc BC sao cho BD = BN

Trong tam giác DBN có $\widehat{DBN}=\frac{1}{2}\widehat{B}=20°$ (BD là phân giác)

Mà BD = BN nên tam giác BDN cân tại B; $\widehat{BND}=\widehat{BDN}$

Suy ra: $\widehat{BND}=\frac{180°-20°}{2}=80°$

Mà là góc ngoài của tam giác DNC

Nên: $\widehat{DNB}=\widehat{C}+\widehat{CDN}$

⇒ $\widehat{CDN}=\widehat{DNB}-\widehat{C}=80°-40°=40°$

Vì MD // BC nên $\widehat{MDB}=\widehat{DBN}=20°$

Thấy tam giác BMD cân tại M vì $\widehat{MBD}=\widehat{MDB}=\widehat{DBN}=20°$

Suy ra: BM = MD

Lại có: MD // BC

Suy ra: BM = DC

Mà AB = AC nên AM = AD

$\widehat{ABD}=\widehat{DBC }=\frac{1}{2}\widehat{B}=20°$

$\widehat{ADB}=180°-20°-100°=60°$

$\widehat{BDC}=180°-20°-40°=120°$

Vì BDN là tam giác cân tại B nên $\widehat{BDN}=\widehat{BND}=\frac{180°-20°}{2}=80°$

Suy ra: $\widehat{NDC}=\widehat{BDC}-\widehat{BDN}=120°-80°=40°$

Mà $\widehat{DCN}=40°$

Nên tam giác DCN cân tại N.

⇒ DN = NC

Xét tam giác AMD và tam giác DNC có:

$\widehat{ADM}=\widehat{DCN}$(2 góc đồng vị)

$\widehat{AMD}=\widehat{NDC}=40°$

⇒ ∆AMD ∽ ∆ NDC (g.g)

⇒ $\frac{AM}{DN}=\frac{AD}{NC}=\frac{MD}{DC}$

Suy ra: AD = CN.

Vậy BD + AD = BD + NC = BN + NC = BC.