Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ 3 căn 3 /2

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sinA + sinB + sinC ≤ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (O; R)

Ta đi chứng minh AB + AC + CA ≤ $3\sqrt{3}R$

Ta có: ${\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)}^2\ge 0$

⇔ OA² + OB² + OC² + $2\left(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\right)\ge 0$

⇔ 3R^{2_{$\ge -2\left(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\right)$}}

⇔ 9R^{2_{$\ge 6R^2-2\left(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}\right)$}}

⇔ $9R^2\ge \left(O{A}^2-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+O{B}^2\right)+\left(O{B}^2-2\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB}+O{C}^2\right)+\left(O{C}^2-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}+O{A}^2\right)$

⇔ $9R^2\ge {\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)}^2$

⇔ $9R^2\ge {\left(\overrightarrow{BA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{CB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{AC}\right)}^2$

⇔ 9R² ≥ AB² + AC² + BC²

⇔ 9R² ≥ AB² + AC² + BC² ≥ $\frac{{\left(AB+BC+CA\right)}^2}{1^2+1^2+1^2}$ (Bunhiacopxki)

⇔ 9R² ≥ $\frac{{\left(AB+BC+CA\right)}^2}{3}$

⇔ 27R² ≥ (AB + BC + CA)²

⇔ AB + AC + CA ≤ $3\sqrt{3}R$

⇔ $\frac{AB}{2R}+\frac{BC}{2R}+\frac{CA}{2R}\le \frac{3\sqrt{3}R}{2R}$

Hay sinC + sinA + sinB ≤ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (dpcm).