Cho tam giác ABC. Chứng minh cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho tam giác ABC. Chứng minh cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.

Lời giải:

Ta có:

cotA = -cot(π – A) = -cot(B + C)

$=-\frac{1}{\tan \left(B+C\right)}=-\frac{1-\tan B.\tan C}{\tan B+\tan C}=\frac{\tan B.\tan C-1}{\tan B+\tan C}$

$=\frac{1-\frac{1}{\tan B.\tan C}}{\frac{\tan B+\tan C}{\tan B.\tan C}}=\frac{1-\frac{1}{\tan B}.\frac{1}{\tan C}}{\frac{1}{\tan C}+\frac{1}{\tan B}}=\frac{1-\cot B.\cot C}{\cot C+\cot B}$

Suy ra: cotA(cotC + cotB) = 1 – cotB.cotC

Xét cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA

= cotA(cotB + cotC) + cotB.cotC

= 1 – cotB.cotC + cotB.cotC

= 1.

Vậy cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1.