Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.

a) Chứng minh DE = BF.

b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh $\widehat{DHF}=90°$.

c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.

d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và

$\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=\widehat{DAB}=90°$

Xét △DEC và △BFC có

EC = FC (giả thiết)

$\widehat{DCE}=\widehat{BCF}=90°$

DC = BC (chứng minh trên)

Do đó △DEC = △BFC (c.g.c)

Suy ra DE = BF (2 cạnh tương ứng), $\widehat{EDC}=\widehat{FBC}$

b) Xét △BEH và △DEC có

$\widehat{BEH}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{EDC}=\widehat{FBC}$ (chứng minh câu a)

Suy ra △BEH ∽ △DEC (g.g)

Do đó $\widehat{BHE}=\widehat{DCE}$

Mà $\widehat{DCE}=90°$ nên $\widehat{BHE}=90°$

Hay DE ⊥ BF

Suy ra $\widehat{DHF}=90°$

c) Xét tam giác BDF có

DE ⊥ BF

BC ⊥ DF

DE cắt BC tại E

Suy ra E là trực tâm tam giác BDF

Do đó FK ⊥ BD

Mà AO ⊥ BD

Suy ra AO // IK

Vì CE = CF nên tam giác CEF cân tại C

Mà CI là trung tuyến

Suy ra CI là đường cao

Hay CI ⊥ EF

Xét tứ giác OKIC có $\widehat{OKI}=\widehat{KOC}=\widehat{CIK}=90°$

Suy ra OKIC là hình chữ nhật

Do đó OC = KI

Mà OC = AO

Suy ra AO = KI

Xét tứ giác AOIK có AO // KI, AO = KI (chứng minh trên)

Suy ra AOIK là hình bình hành

d) Xét tứ giác ABHD có $\widehat{BAD}+\widehat{BHD}=90°+90°=180°$

Suy ra tứ giác ABHD nội tiếp

Do đó $\widehat{AHB}=\widehat{ADB}=45°$

Xét tứ giác DKHF có $\widehat{DKF}=\widehat{DHF}=90°$

Suy ra tứ giác DKHF nội tiếp

Do đó $\widehat{KHB}=\widehat{FDB}=45°$

Suy ra $\widehat{AHB}=\widehat{KHB}$

Suy ra AH ≡ KH

Do đó A, H, K thẳng hàng.

Vậy A, H, K thẳng hàng.