Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao cho AM + AN + MN = 2a

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao cho AM + AN + MN = 2a. Chứng minh $\widehat{MCN}=45°$ .

Lời giải:

Vẽ tia Cx vuông góc với CN tại C, cắt AB tại E.

$\widehat{C_1}+\widehat{MCN}+\widehat{C_3}=90°$

$\widehat{C_2}+\widehat{MCN}+\widehat{C_3}=90°$

Suy ra: $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

Xét tam giác CDN và tam giác CBE có:

$\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

CD = CB

$\widehat{CDN}=\widehat{CBE}=90°$

⇒ ∆CDN= ∆CBE (c.g.c)

⇒ CN = CE; DN = BE

Xét: AM + AN + ME

= AM + AN + MB + BE

= AM + AN + MB + ND (vì BE = ND, chứng minh trên)

= AM + MB + AN + ND

= AB + AD = 2a

Suy ra: AM + AN + ME = AM + AN + MN = 2a

Vậy MN = ME

Xét tam giác CMN và tam giác CME có:

CN = CE

Chung CM

MN = ME

⇒ ∆CMN = ∆CME (c.c.c)

⇒$\widehat{MCN}=\widehat{ECM}$

Mà $\widehat{MCN}+\widehat{ECM}=90°$ (do CE vuông góc CN)

Vậy $\widehat{MCN}=45°$ .