Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD = a, M là trung điểm của cạnh AB

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD = a, M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng sin$\widehat{MDB}=\frac{1}{3}$ . Tính độ dài của đoạn thẳng AB theo a.

Lời giải:

Ta có: cos$\widehat{MDB}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Xét tam giác AMD có: S_AMD = $\frac{1}{2}$ AD.AM

S_AMD = $\frac{1}{2}.AD.\frac{AB}{2}=\frac{1}{4}.AD.AB=\frac{1}{4}.AD.a$

Xét tam giác MDB có: S_BMD = $\frac{1}{2}$ MD.DB.sin$\widehat{MDB}=\frac{1}{6}.MD.DB$

Xét tam giác ABD có: S_ABD = $\frac{1}{2}$ AD.AB = $\frac{1}{2}.a.AB$ (1)

Mà S_AMD + S_BMD = S_ABD

⇔ $\frac{1}{4}.a.AB+\frac{1}{6}.MD.DB=\frac{1}{2}.a.AB$

Xét tam giác MDB có: MB² = MD² + DB² – 2.MB.BD.cos$\widehat{MDB}$

⇔ $\frac{A{B}^2}{4}=M{D}^2+D{B}^2-2.MB.BD.\frac{2\sqrt{2}}{3}$

⇔ MD.DB = $\left(M{D}^2+D{B}^2-\frac{A{B}^2}{4}\right).\frac{3}{4\sqrt{2}}$

⇔ MD.DB = $\left(2a^2+A{B}^2\right).\frac{3}{4\sqrt{2}}\left(2\right)$

Thế (2) vào (1) ta có: $\frac{1}{4}a.AB+\frac{\sqrt{2}}{16}\left(2a^2+A{B}^2\right)=\frac{1}{2}.AB.a$

⇔ $\frac{\sqrt{2}}{16}\left(2a^2+A{B}^2\right)=\frac{1}{4}a.AB$

⇔ AB² – 2$\sqrt{2}$ a.AB + 2a² = 0

⇔ (AB – a $\sqrt{2}$)² = 0

⇔ AB = a$\sqrt{2}$ .