Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Xét góc vuông $\widehat{mOn}$ quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D. Chứng minh rằng:

a) CD luôn tiếp xúc với nửa đường tròn $\left(O;\frac{AB}{2}\right)$ .

b) $AC.BD=\frac{A{B}^2}{4}$ .

Lời giải:

Xét góc vuông $\widehat{mOn}$ quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D nên $\widehat{COD}=90°$

a) Kẻ OH ⊥ CD

Ta có DC = DE (chứng minh câu a)

Suy ra tam giác DCE cân ở D

Mà DO là đường cao nên DO đồng thời là phân giác của $\widehat{CDE}$

Suy ra $\widehat{CDE}=\widehat{CDO}$

Xét ∆HOD và ∆BOD có

$\widehat{DHO}=\widehat{DBO}=90°$

OD là cạnh chung

$\widehat{H}=\widehat{ODB}$

Suy ra ∆HOD = ∆BOD (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó OH = OB, HD = BD (các cặp cạnh tương ứng)

Mà OB là bán kính của (O)

Suy ra H thuộc (O)

Lại có OH ⊥ CD nên CD là tiếp tuyến của (O)

c) Xét ∆HOC và ∆AOC có

OH = OA (= OB)

$\widehat{CHO}=\widehat{CAO}=90°$

OC là cạnh chung

Suy ra ∆HOC = ∆AOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Do đó HC = AC

Xét tam giác COD vuông tại O có OH ⊥ CD

Theo hệ thức lượng trong tam giác có

OH² = CH . DH

Ta có: $AC.BD=CH.DH=O{H}^2=O{A}^2={\left(\frac{BC}{2}\right)}^2=\frac{B{C}^2}{4}$

Vậy $AC.BD=\frac{A{B}^2}{4}$ .