Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x^2 + 2xy + y^2 = 3

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 211 17/02/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 4x² + 2xy + y² = 3.

Tìm GTNN, GTLN của P = x² + 2xy – y²

Lời giải:

Ta có: $\frac{P}{3} = \frac{x^{2} + 2 x y - y^{2}}{4 x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ (*)

Xét y = 0 thì x² = $\frac{3}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $[\begin{array}{l} P = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. \frac{\sqrt{3}}{2} .0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \\ P = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 2. (- \frac{\sqrt{3}}{2} .) 0 - 0^{2} = \frac{3}{4} \end{array}$

Xét y khác 0, chia cả (*) cho y² ta được: $\frac{P}{3} = \frac{{(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} - 1}{4 {(\frac{x}{y})}^{2} + 2 \frac{x}{y} + 1}$

Đặt $\frac{x}{y} = a \Rightarrow \frac{P}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

* Xét $\frac{P}{3} - (- 2) = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} + 2 = \frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì (3a + 1)² ≥ 0 với mọi a nên $\frac{{(3 a + 1)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \geq 0$

Suy ra: $\frac{P}{3} - (- 2) \geq 0 \Rightarrow P \geq - 6$

Vậy GTNN của P là –6 khi 3a + 1 = 0 hay a = $\frac{- 1}{3} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{- 1}{3} \Leftrightarrow - 3 x = y$

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 7x² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} x = \frac{\sqrt{21}}{7} \\ x = - \frac{\sqrt{21}}{7} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} y = \frac{- 3 \sqrt{21}}{7} \\ y = \frac{3 \sqrt{21}}{7} \end{array}$

Vậy GTNN của P là –6 khi (x; y) = $(\frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{- 3 \sqrt{21}}{7}); (- \frac{\sqrt{21}}{7}; \frac{3 \sqrt{21}}{7})$

* Xét $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} = \frac{a^{2} + 2 a - 1}{4 a^{2} + 2 a + 1} - \frac{1}{3} = \frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1}$

Vì –(a – 2)² ≤ 0 với mọi a nên: $\frac{- {(a - 2)}^{2}}{4 a^{2} + 2 a + 1} \leq 0, \forall a$

Suy ra: $\frac{P}{3} - \frac{1}{3} \leq 0 \Rightarrow P \leq 1$

Vậy GTLN của P là 1 khi a – 2 = 0 hay a = 2.

Khi đó x = 2y

Thay vào 4x² + 2xy + y² = 3, ta được: 21y² = 3

⇔ $[\begin{array}{l} y = \frac{1}{\sqrt{7}} \\ y = - \frac{1}{\sqrt{7}} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{2}{\sqrt{7}} \\ x = - \frac{2}{\sqrt{7}} \end{array}$