Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 1

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn a² + b² + c² = 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = $\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$ .

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho 2 số không âm, ta có:

a² + b² ≥ 2ab

b² + c² ≥ 2bc

a² + c² ≥ 2ac

Cộng vế ta được:

2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)

⇒ 3(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca) + a² + b² + c²

⇒ 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²

Mà a² + b² + c² = 1 nên (a + b + c)² ≤ 3, hay a + b + c ≤ $\sqrt{3}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia, có: ${\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)}^2\le \left(a+b+b+c+c+a\right).3$

⇒ Q² ≤ 2(a + b + c).3

⇒ Q² ≤ 6

Suy ra: Q ≤$\sqrt[4]{108}$

Vậy GTLN của Q là $\sqrt[4]{108}$ khi $\left\{\begin{array}{l}a=b=c\\ a^2+b^2+c^2=1\end{array}\right.\iff a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$