Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh

Vietjack.me giới thiệu bộ câu hỏi ôn tập Toán có đáp án được biên soạn bám sát chương trình học giúp bạn ôn luyện và bổ sung kiến thức môn Toán tốt hơn. Mời các bạn đón xem:

1 467 17/02/2024

Trang trước

Trang sau

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.

Chứng minh $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4}$ .

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b + 1}{8} + \frac{c + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} . \frac{b + 1}{8} . \frac{c + 1}{8}} = \frac{3 a}{4}$

Tương tự: $\frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c + 1}{8} + \frac{a + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} . \frac{c + 1}{8} . \frac{a + 1}{8}} = \frac{3 b}{4}$

$\frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} + \frac{c + 1}{8} + \frac{a + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} . \frac{c + 1}{8} . \frac{a + 1}{8}} = \frac{3 c}{4}$

Suy ra: $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4} (a + b + c)$

$\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4} \sqrt[3]{a b c} = \frac{3}{4}$ (BĐT Cô-si)

Vậy $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Xem thêm các bài giải bộ 15000 câu hỏi Toán hay và chi tiết tại:

Cho tứ diện ABCD có M nằm trên cạnh AB, N nằm trên cạnh AD thoả MB = 2MA, AN = 2ND. Gọi P là điểm thuộc miền trong của tam giác BCD. Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABC).

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Điểm M nằm giữa B và C, gọi I là trung điểm của AC, lấy điểm N đối xứng M qua I.

a) Tính độ dài cạnh BC?

b) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC; B và C là hai tiếp điểm và một cát tuyến ADE đến (O).

a) Chứng minh AB² = AD.AE.

b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh tứ giác DEOH nội tiếp, chứng minh HB là tia phân giác của

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng chu vi của một thửa ruộng hình vuông cạnh 80m. Nếu giảm chiều dài mảnh vườn đi 30m và tăng chiều rộng thêm 10m thì mảnh vườn sẽ có hình vuông. Tính diện tích mảnh vườn?

Chứng minh tam giác ABC có h_a = 2R.sinB.sinC

Hai số lẻ có tổng là số nhỏ nhất có 4 chữ số và ở giữa hai số lẻ đó có 4 số lẻ tìm hai số đó.

Chứng minh vì sao số có ước lẻ là số chính phương.

Cho A = 3 + 3³ + 3⁵ + … + 3²⁰²¹ + 3²⁰²³. Chứng minh A chia hết cho 30.

So sánh 2 số sau: 2348 và 4792 .

So sánh các số sau: 199²⁰ và 2003¹⁵

. Tính B = – 1 + 7 – 7² + 7³ - … - 7²⁰⁰ + 7²⁰¹ – 7²⁰².

Hãy cho biết các tọa độ của điểm M nằm chính giữa một bức tường hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5m, và cạnh AD = 4m. Lấy trục Ox dọc theo AB, trục Oy dọc theo AD.

Tìm đa thức M, biết: M + (5x² – 2xy) = 6x² + 9xy – y².

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai trung tuyến AM, BN. Biết AM = 15, BN = 12 và tam giác CMN có diện tích là . Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Phân tích đa thức thành nhân tử: 16x² – (x + 1)².

Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1 ⋮ 6.

Góc ngoài của một tam giác cân hơn góc trong kề với nó 90 độ. Tính các góc trong của tam giác đó?

Một sản phẩm được hạ giá 60%. Hỏi sản phẩm đó phải tăng giá lên bao nhiêu % để trở về giá ban đầu?

1 467 17/02/2024

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: