Cho A là một số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 9

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho A là một số lẻ không tận cùng bằng 5. Chứng minh rằng tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 9.

Lời giải:

Xét $\frac{1}{A}$ , mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên $\frac{1}{A}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn

$\frac{1}{A}=\frac{\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_n}}{\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}}$⇒ $\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}=A.\overline{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_n}$ ⇒$\underset{n}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}⋮A$