Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho 5 số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng không có ước nguyên tố nào khác 2 và 3. Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.

Lời giải:

Gọi 5 số nguyên dương đã cho là K₁, K₂, K₃, K₄, K₅ (phân biệt từng đôi một). Ta có:

K₁ = $2^{a_1}{.3}^{b_1}$

K₂ = $2^{a_2}{.3}^{b_2}$

K₃ = $2^{a_3}{.3}^{b_3}$

K₄ = $2^{a_4}{.3}^{b_4}$

K₅ = $2^{a_5}{.3}^{b_5}$

(a₁,a₂,a₃,... và b₁,b₂,b₃,... đều là số tự nhiên)

Xét 4 tập hợp sau:

+ A là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m lẻ, n lẻ)

+ B là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m lẻ, n chẵn)

+ C là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m chẵn, n lẻ)

+ D là tập hợp các số có dạng 2^m.3ⁿ (với m chẵn, n chẵn)

Rõ ràng trong 5 số K₁, K₂, K₃, K₄, K₅ chắc chắn có ít nhất 2 số thuộc cùng 1 tập hợp ví dụ K_i và K_j

K_i = $2^{a_i}{.3}^{b_i}$ ; K_j = $2^{a_j}{.3}^{b_j}$

⇒ K_i.K_j = $2^{a_i+a_j}{.3}^{b_i+b_j}$

Vì K_i và K_j thuộc cùng 1 tập hợp

Suy ra: a_i và a_j cùng tính chẵn lẻ, b_i và b_j cùng tính chẵn lẻ

a_i + a_j và b_i + b_j đều chẵn

K_i.K_j = $2^{a_i+a_j}{.3}^{b_i+b_j}$ là số chính phương.

Vậy trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương.