Cho 3 số dương x, y, z có tích bằng 144. Tìm GTNN của biểu thức

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 100)

Đề bài. Cho 3 số dương x, y, z có tích bằng 144. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\left(x+\frac{1}{4}y\right)\left(y+\frac{1}{9}z\right)\left(x+\frac{1}{36}z\right)$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có: $P=\left(x+\frac{1}{4}y\right)\left(y+\frac{1}{9}z\right)\left(x+\frac{1}{36}z\right)\ge 2.\sqrt{x.\frac{1}{4}y}\mathrm{.2.}\sqrt{y.\frac{1}{9}z}\mathrm{.2.}\sqrt{x.\frac{1}{36}z}$

$P=8.\sqrt{x^2{y}^2{z}^2.\frac{1}{4}.\frac{1}{9}.\frac{1}{36}}=8\sqrt{{144}^2.\frac{1}{4}.\frac{1}{9}.\frac{1}{36}}=32$

Dấu “=” xảy ra khi: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{4}y\\ y=\frac{1}{9}z\\ z=\frac{1}{36}x\end{array}\right.\iff \left(x;y;z\right)=\left(1;4;36\right)$

Vậy GTNN của P là 32 khi (x; y; z) = (1; 4; 36).