Cho 2 số tự nhiên y > x thỏa mãn (2y − 1)2 = (2y − x)(6y + x)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Cho 2 số tự nhiên y > x thỏa mãn (2y − 1)² = (2y − x)(6y + x).

Chứng minh 2y – x là số chính phương.

Lời giải:

(2y − 1)² = (2y − x)(6y + x).

Gọi ƯCLN((2y − x); (6y + x)) = d (d ∈ ℕ^*)

⇔ (2y − x) ⋮ d

Và (6y + x) ⋮ d

⇔ (2y − x)(6y + x) ⋮ d²

Mà (2y − 1)² = (2y − x)(6y + x).

⇔ (2y − 1)² ⋮ d²

⇔ (2y – 1) ⋮ d

⇔ (6y – 3) ⋮ d

Suy ra: (6y – 3 − 6y – x) ⋮ d (vì 6y + x ⋮ d)

⇔ (x + 3) ⋮ d

Mà 2y – x ⋮ d

Nên (2y – x + x + 3) ⋮ d hay 2y + 3 ⋮ d

Suy ra: (2y – 1 + 4) ⋮ d

Lại có: (2y – 1) ⋮ d

Nên: 4 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư(4)

⇒ d ∈ 4;2;1}

Mà 2y − 1 là số lẻ ⇒ 1 ⋮ d

⇔ 2y − x và 6y + x là số chính phương (đpcm).