Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 98)

Đề bài. Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F (E nằm giữa A, F).

1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

2. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Chứng minh OH.OA = OE².

3. Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại E. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải:

1) Theo giả thiết ta có: AB và AC là tiếp tuyến của (O) nên: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OB\\ AC\perp OC\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{ABO}=90°\\ \widehat{ACO}=90°\end{array}\right.$

Xét tứ giác ABOC có: $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90°+90°=180°$

Mà 2 góc này là hai góc đối diện

Nên ABOC là tứ giác nội tiếp

Vậy A, B, O, C cùng nằm trên 1 đường tròn.

2) Gọi H là giao điểm AO và BC

Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Nên A thuộc đường trung trực của BC (1)

OB = OC = R nên O thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1), (2): OA là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC = {H}

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH, ta có:

OB² = OH.OA

Lại có OB = OE = R

Nên: OE² = OH.OA

3) Theo phần b ta có: OE² = OH.OA ⇒$\frac{OE}{OH}=\frac{OA}{OE}$

Xét tam giác OEA và tam giác OHE có:

Chung $\widehat{O}$

$\frac{OE}{OH}=\frac{OA}{OE}$

⇒ ∆OEA ∽ ∆OHE (c.g.c)

⇒ $\widehat{OEA}=\widehat{OHE}$ (2 góc tương ứng)

Lại có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{FEO}=180°-\widehat{OEA}\\ \widehat{EHA}=180°-\widehat{OHE}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{FEO}=\widehat{EHA}$

Mặt khác: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{SOE}=90°-\widehat{FEO}\\ \widehat{SHE}=90°-\widehat{EHA}\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{SOE}=\widehat{SHE}$

Xét tứ giác SOHE có: $\widehat{SOE}=\widehat{SHE}$ cùng chắn cung SE

Suy ra: SOHE nội tiếp

⇒ $\widehat{SEO}=\widehat{SHO}=90°$

Xét tam giác SFO và tam giác SEO có:

SO chung

SF = SE

OF = OE = R

⇒ ∆SFP = ∆SEO (c.c.c)

⇒ $\widehat{SFO}=\widehat{SEO}=90°$

⇒ SF ⊥ OF tại F

Vậy SF là tiếp tuyến của (O).