Tìm điều kiện của tham số m dể phương trình cos^2x − 4cosx + m = 0 có nghiệm

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Tìm điều kiện của tham số m dể phương trình cos²x − 4cosx + m = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét phương trình: cos²x – 4cosx + m = 0 (1)

Đặt t = cosx (|t| ≤ 1)

Khi đó phương trình (1) trở thành: t² – 4t + m = 0 (2)

Để phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn |t| ≤ 1

Phương trình (2) có nghiệm khi:

Δ′ ≥ 0 ⇔ 4 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 4

Khi đó phương trình có nghiệm là: $\left[\begin{array}{l}t=2+\sqrt{4-m}\\ t=2-\sqrt{4-m}\end{array}\right.$

Mà |t| ≤ 1

⇔ $\left[\begin{array}{l}\left|2+\sqrt{4-m}\right|\le 1\\ \left|2-\sqrt{4-m}\right|\le 1\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sqrt{4-m}\le -1\left(L\right)\\ \left|2-\sqrt{4-m}\right|\le 1\end{array}\right.$

⇔ $\left|2-\sqrt{4-m}\right|\le 1$

⇔ $\left[\begin{array}{l}2-\sqrt{4-m}\le 1\\ 2-\sqrt{4-m}\ge -1\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sqrt{4-m}\ge 1\\ \sqrt{4-m}\le 3\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\sqrt{4-m}\ge 1\\ \sqrt{4-m}\le 3\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge -5\end{array}\right.$

⇔ -5 ≤ m ≤ 3.

Kết hợp với điều kiện (*) ta được: −5 ≤ m ≤ 3

Vậy với −5 ≤ m ≤ 3 thì phương trình đã cho có nghiệm.