Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ*, n ≥ 2 ta có: 1 + 1/2^2 + ... + 1/n^2 < 2 - 1/n

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ^*, n ≥ 2 ta có: $1+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}$

Lời giải:

Xét: $\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n-1\right)}$

$\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

$\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n}$

Suy ra: $1+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<1+1-\frac{1}{n}$

Hay $1+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<2-\frac{1}{n}$.