Cho tam giác ABC, gọi BM và CN lần lượt là các đường trung tuyến sao cho BM vuông góc với CN

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho tam giác ABC, gọi BM và CN lần lượt là các đường trung tuyến sao cho BM vuông góc với CN. Chứng minh cotA = 2 (cotB + cotC).

Lời giải:

Theo định lý cosin: cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Và sinA = $\frac{a}{2R}$

cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{abc}.R=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}$ (*)

Lại có theo công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác ta có:

BM² = $\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}$

CN² = $\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}$

Suy ra: a² = BC² = BG² + GC² = $\frac{4}{9}B{M}^2+\frac{4}{9}C{N}^2$= $\frac{4}{9}\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)+\frac{4}{9}\left(\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)$

⇔ a² = $\frac{4}{9}\left(\frac{b^2+c^2}{4}+a^2\right)$

⇔ 9a² = b² + c² + 4a²

⇔ 5a² = b² + c² (**)

Thay (**) vào (*): cotA = $\frac{5a^2-a^2}{4S}=\frac{4a^2}{4S}=\frac{a^2}{S}\left(1\right)$

Mặt khác cotB + cotC = $\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

⇒ cotB + cotC = $\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: cotA = 2 (cotB+cotC) = $\frac{a^2}{S}$

Vậy cotA = 2 (cotB + cotC).