Cho tam giác ABC có đường cao AH và BD cắt nhau tại I

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho tam giác ABC có đường cao AH và BD cắt nhau tại I.

a) Chứng minh 4 điểm C, D, I, H cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Chứng minh 4 điểm A, B, H, D cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Tính bán kính đường tròn đi qua 4 điểm C, D, H, I nếu biết CH = 4cm và $\widehat{HAB}$ = 30°.

Lời giải:

a) Xét tam giác DIC vuông tại D (BD ⊥ AC)

⇒ D, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC

Xét tam giác HIC vuông tại H (AH ⊥ BC)

⇒ H, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính IC

Vậy D, I, C, H cùng thuộc đường tròn đường kính IC

b) Xét tam giác ABH vuông tại H (AH ⊥ BC)

⇒ A, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Xét tam giác ABD vuông tại D (BD ⊥ AC)

⇒ A, B, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Vậy A, B, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AB

c) Gọi M là giao điểm của CI và AB

Xét tam giác BAC có: AH và BD là đường cao, AH ∩ BD ={I}

Nên I là trực tâm của tam giác BAC

Vậy AM là đường cao thứ 3 của tam giác ABC

Xét ∆ABH và ∆CBM có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{AHB}=\widehat{CMB}=90°$

⇒ ∆ABH ~ ∆CBM (g.g)

⇒ $\widehat{BCM}=\widehat{HAB}$ = 30°

Xét ∆HCI vuông tại H có: cos$\widehat{HCI}=\frac{CH}{CI}\Rightarrow \cos 30°=\frac{4}{CI}\Rightarrow CI=\frac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)$

Mà đường tròn đi qua D, I, C, H là đường tròn đường kính IC

Suy ra bán kính đường tròn là $\frac{1}{2}CI=\frac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right).$