Cho tam giác ABC( AB < AC ) có hai đường phân giác CM, BN cắt nhau ở D

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho tam giác ABC( AB < AC ) có hai đường phân giác CM, BN cắt nhau ở D. Qua A kẻ AE và AF vuông góc với BN và CM. Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I; K.

a) Chứng minh AFDE nội tiếp.

b) Chứng minh AB.NC = AN.BC.

Lời giải:

a) Xét tứ giác AFDE có: $\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90°$

Suy ra: $\widehat{AED},\widehat{AFD}$ cùng nhìn AD dưới 1 góc 90 độ không đổi

Hay tứ giác AFDE nội tiếp.

b) Vì BN, CM cắt nhau tại D nên AD là đường phân giác thứ ba của tam giác ABC.

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

Xét ∆ABN có AD là phân giác: $\frac{BD}{DN}=\frac{AB}{AN}\left(1\right)$

Xét ∆CBN có CD là phân giác: $\frac{BD}{BN}=\frac{BC}{CN}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{BC}{CN}=\frac{AB}{AN}$

Vậy AB.NC = AN.CB.