Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, SC.

a) Xác định giao điểm I, K của AN, MN với (SBD).

b) Tính tỉ số $\frac{IA}{IN};\frac{KM}{KN}$.

c) Chứng minh B, I, K thẳng hàng. Tính tỉ số $\frac{IB}{IK}$.

Lời giải:

a) Gọi AC ∩ BD = O, SO ∩ AN = I

⇒ AN ∩ (SBD) = I

CM ∩ BO = E, SE ∩ MN = K ⇒ MN ∩ (SBD) = K

b, c) Ta có M, N là trung điểm AB, SC; O là trung điểm AC, BD

⇒ I, E là trọng tâm SAC, BAC

⇒ $\frac{IA}{IN}=2$

Ta có: M, K, N thẳng hàng; M ∈ CE, K ∈ SE, N ∈ SC

Suy ra: $\frac{MC}{ME}.\frac{KE}{KS}.\frac{NS}{NC}=1$

⇒ $3.\frac{KE}{KS}.1=1$

⇒ $\frac{KE}{KS}=\frac{1}{3}$

⇒ $\frac{BO}{BE}.\frac{KE}{KS}.\frac{IS}{IO}=\frac{3}{2}.\frac{1}{3}.2=1$

Vậy B, I, K thẳng hàng (định lý Menelauyt)

Ta có: S, K, E thẳng hàng nên $\frac{SC}{SN}.\frac{KN}{KM}.\frac{EM}{EC}=1$

⇒

⇒

Lại có từ S, K, E thẳng hàng nên $\frac{SO}{SI}.\frac{KI}{KB}.\frac{EB}{EO}=1$

⇒ $\frac{3}{2}.\frac{KI}{KB}.2=1$

⇒ $\frac{KI}{KB}=\frac{1}{3}$

⇒ $\frac{KI}{KB+KI}=\frac{1}{3+1}$

Hay $\frac{KI}{IB}=\frac{1}{4}$

Suy ra: $\frac{IB}{IK}=4$.