Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O)

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AC. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại tiếp điểm C cắt tia OI tại điểm D.

a) Chứng minh OI song song với BC.

b) Chứng minh DA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Vẽ CH vuông góc với AB, H ∈ AB và vẽ BK vuông góc với CD, K ∈ CD. Chứng minh CK² = HA.HB.

Lời giải:

a) Vì DC = DA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại D) và OA = OC = R

Nên OD là trung trực AC nên OD ⊥ AC

Mà I là trung điểm AC nên I thuộc OD

Lại có: $\widehat{ACB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AC ⊥ CB

Suy ra: OD // BC hay OI // BC

b) Xét tam giác OCD và OAD có:

OC = OA = R

OD chung

DA = DC

⇒ ∆OCD = ∆OAD (c.c.c)

⇒ $\widehat{DCO}=\widehat{DAO}=90°$

⇒ DA ⊥ AB và A trên (O) nên DA là tiếp tuyến của (O).

c) $\widehat{OCB}=\widehat{OBC}$

OC // BK (cùng vuông góc với CD)

Nên $\widehat{OCB}=\widehat{CBK}$

Suy ra: $\widehat{OBC}=\widehat{CBK}$

Xét tam giác CHB và CKB có:

$\widehat{H}=\widehat{K}=90°$

Cạnh BC chung

$\widehat{HBC}=\widehat{OBC}=\widehat{CBK}$

Vậy ∆CHB = ∆CKB (g.c.g)

Suy ra: CK = CH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông có: CH² = HA.HB

Mà CH = CK nên CK² = HA.HB.