Cho ba số x, y, z thỏa mãn x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx và x + y + z = -3

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 99)

Đề bài. Cho ba số x, y, z thỏa mãn x² + y² + z² = xy + yz + zx và x + y + z = -3. Tính giá trị biểu thức B = x²⁰²² + y²⁰²³ + z²⁰²⁴.

Lời giải:

x² + y² + z² = xy + yz + zx

⇔ 2x² + 2y² + 2z² = 2xy + 2yz + 2zx

⇔ (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0 (*)

Mà (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0 với mọi x, y, z nên để đẳng thức (*) xảy ra thì:

$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ y-z=0\\ z-x=0\end{array}\right.$ hay x = y = z

Mà x + y + z = -3

⇔ x = y = z = -1

B = x²⁰²² + y²⁰²³ + z²⁰²⁴ = 1 – 1 + 1 = 1.