Chứng minh với a, b dương thì √a + b < √a + √b

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 105)

Đề bài. Chứng minh với a, b dương thì $\sqrt{a+b}\mathrm{ }<\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Lời giải:

$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}\mathrm{ }+\sqrt{b}$

⇒ ${\left(\sqrt{a+b}\right)}^2<{(\sqrt{a}\mathrm{ }+\sqrt{b})}^2$

⇒ $a+b<a+2\sqrt{ab}+b$

⇔ $2\sqrt{ab}>0$

⇔ $\sqrt{ab}\mathrm{ }>0$ (luôn đúng với a, b > 0)

Vậy $\sqrt{a+b}\mathrm{ }<\sqrt{a}+\sqrt{b}$