Chứng minh rằng A = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^60 chia hết cho 3 và 7

15000 câu hỏi ôn tập Toán (Phần 105)

Đề bài. Chứng minh rằng A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰ chia hết cho 3 và 7.

Lời giải:

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + … + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) +… + 2⁵⁹(1 + 2)

A = (1 + 2)(2 + 2³ + … + 2⁵⁹)

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 3

Lại có:

A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰

A = (2 + 2² + 2³) +( 2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + … + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2.(1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸.(1 + 2 + 2²)

A = (1 + 2 + 2²)(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸)

A = 7.(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) ⋮ 7

Vậy A ⋮ 7.