Công thức tính ứng suất và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Công thức tính ứng suất và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

- Biến dạng cơ của vật rắn là sự thay đổi kích thước và hình dạng của vật rắn do tác dụng của ngoại lực. Tùy thuộc độ lớn của lực tác dụng, biến dạng của vật rắn có thể là đàn hồi hoặc không đàn hồi.

- Ứng suất là đại lượng vật lý đặc trưng cho tác dụng nén hoặc kéo của lực F tác dụng dọc theo trục của một vật rắn đồng chất hình trụ có tiết diện S.

Ứng suất kéo trên một mẫu hình lập phương

2. Công thức

$\sigma =\frac{F}{S}$

Trong đó:

F: lực nén hoặc kéo (N)

S: tiết diện của vật rắn hình trụ đồng chất (m²)

σ: ứng suất của vật rắn (N/m² hoặc Pa)

3. Kiến thức mở rộng

- Gọi l₀ là độ dài của thanh khi không có lực kéo (hay nén)

l là độ dài của thanh khi có lực kéo (hay nén)

∆l = |l -l₀| là độ biến dạng của thanh

=> Độ biến dạng tỉ đối của thanh:

$\epsilon =\frac{\left|l-l_0\right|}{l_0}=\frac{\left|∆l\right|}{l_0}$

- Trong giới hạn đàn hồi, độ biến dạng tỉ đối của vật rắn đồng chất, hình trụ tỉ lệ thuận với ứng suất tác dụng vào vật đó.

$\epsilon =\frac{\left|∆l\right|}{l_0}=\alpha \sigma =\alpha .\frac{F}{S}$

Với α là hệ số tỉ lệ phụ thuộc chất liệu của vật rắn

- Biến dạng tỉ đối ε của thanh rắn (bị kéo hoặc nén) không chỉ phụ thuộc độ lớn của lực tác dụng $\overrightarrow{F}$ mà còn phụ thuộc tiết diện ngang S của thanh đó.

+ Nếu $\overrightarrow{F}$ càng lớn và S càng nhỏ thì ε càng lớn, tức là mức độ biến dạng của thanh rắn càng lớn.

+ Nếu $\overrightarrow{F}$ càng nhỏ và S càng lớn thì ε càng nhỏ, tức là mức độ biến dạng của thanh rắn càng nhỏ.

- Từ công thức độ biến dạng tỉ đối của vật rắn, trên ta có thể tính:

+ Ứng suất: $\sigma =\frac{\epsilon }{\alpha }=E\epsilon =E.\frac{\left|∆l\right|}{l_0}$

Với $E=\frac{1}{\alpha }$ là suất đàn hồi hay suất Y-âng đặc trưng cho tính đàn hồi của vật rắn (Pa hoặc N/m²)

- Áp dụng định luật III Niu-Ton và công thức ứng suất, độ lớn của lực đàn hồi F_đh là:

$F_{đh}=F\Rightarrow F_{đh}=\sigma .S=E.\frac{S}{l_0}.\left|∆l\right|=k.\left|∆l\right|$

Với $k=E.\frac{S}{l_0}$là độ cứng (hay hệ số đàn hồi của vật rắn) phụ thuộc chất liệu và kích thước của vật đó (N/m)

- Từ các công thức trên, ta có thể tính:

+ Lực kéo hoặc nén tác dụng lên thanh: $F=\sigma .S=\frac{\epsilon }{\alpha }.S=\epsilon .E.S=\frac{\left|∆l\right|}{l_0}.E.S$

+ Tiết diện của thanh:$S=\frac{F}{\sigma }=\frac{F.\alpha }{\epsilon }=\frac{F.\alpha .l_0}{\left|∆l\right|}=\frac{F.l_0}{E.\left|∆l\right|}$

+ Độ biến dạng của thanh: $\left|∆l\right|=\alpha .\sigma .l_0=\frac{\sigma .l_0}{E}=\frac{F.l_0}{E.S}$

+ Độ dài ban đầu của thanh: $l_0=\frac{\left|∆l\right|}{\alpha .\sigma }=\frac{\left|∆l\right|.S}{\alpha .F}=\frac{E.\left|∆l\right|.S}{F}$

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một dây cáp của cần cẩu chỉ chịu được ứng suất kéo không quá 60.10⁶ Pa. Hỏi dây cáp này phải có đường kính nhỏ nhất bằng bao nhiêu để nó có thể kéo một vật trọng lượng 25 kN.

Lời giải

Vì dây cáp của cần cẩu chỉ chịu được ứng suất kéo:

$\sigma =\frac{F}{S}\le {\sigma }_b=60.{10}^{6}Pa$

Đường kính nhỏ nhất của dây cáp bằng:

$S=\frac{{\mathrm{\pi d}}^2}{4}\ge \frac{F}{{\sigma }_b}\Rightarrow d_{min}=\sqrt{\frac{4F}{{\mathrm{\pi \sigma }}_{\mathrm{b}}}}=\sqrt{\frac{4,25.{10}^3}{3,14.60.{10}^6}}=23mm$

Bài 2: Một đèn chùm có khối lượng 120kg được treo bằng một sợi dây nhôm với giới hạn bền của nhôm là 1,1.10⁸ Pa. Dây treo phải có tiết diện ngang là bao nhiêu để ứng suất kéo gây bởi trọng lượng của vật không vượt quá 20% giới hạn bền của vật liệu làm dây? Cho E_nhôm = 7.10⁷ Pa và lấy g = 10m/s².

Lời giải

Trọng lượng của vật: P = mg = 120.10 = 1200N

Ứng suất kéo gây bởi trọng lượng của đèn chùm:

$\sigma =\frac{P}{S}$

$$\begin{gathered} Vì \sigma \le 20\%.1,1.{10}^8=0,22.{10}^{8}Pa nên \frac{P}{S}\le 0,22.{10}^8{m}^2 \\ \Rightarrow S\ge \frac{1200}{0,22.{10}^8}=0,54.{10}^{-4} \end{gathered}$$