Công thức tính suất đàn hồi và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Công thức tính suất đàn hồi và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

- Biến dạng cơ của vật rắn là sự thay đổi kích thước và hình dạng của vật rắn do tác dụng của ngoại lực. Tùy thuộc độ lớn của lực tác dụng, biến dạng của vật rắn có thể là đàn hồi hoặc không đàn hồi.

- Khi chịu tác động của một ứng suất kéo hoặc nén (lực tác động trên một đơn vị diện tích), một vật phản ứng bằng cách biến dạng theo tác dụng của lực dãn ra hoặc nén lại. Trong một giới hạn biến dạng nhỏ, độ biến dạng này tỷ lệ thuận với ứng suất tác động. Hệ số tỷ lệ này gọi là suất đàn hồi.

2. Công thức

$E=\frac{\sigma }{\epsilon }=\frac{1}{\alpha }$

Trong đó:

$E=\frac{1}{\alpha }$là suất đàn hồi hay suất Y- âng đặc trưng cho tính đàn hồi của vật rắn (Pa hoặc N/m²)

σ: ứng suất của vật rắn (N/m² hoặc Pa)

ε: độ biến dạng tỉ đối của vật rắn

α : hệ số tỉ lệ phụ thuộc chất liệu của vật rắn

3. Kiến thức mở rộng

- Bảng suất đàn hồi của một số chất rắn:

- Công thức tính ứng suất:

$\sigma =\frac{F}{S}$

Trong đó:

F: lực nén hoặc kéo (N)

S: tiết diện của vật rắn hình trụ đồng chất (m²)

σ: ứng suất của vật rắn (N/m² hoặc Pa)

- Gọi l₀ là độ dài của thanh khi không có lực kéo (hay nén)

l là độ dài của thanh khi có lực kéo (hay nén)

∆l = |l - l₀| là độ biến dạng của thanh

=> Độ biến dạng tỉ đối của thanh:

$\epsilon =\frac{\left|l-l_0\right|}{l_0}=\frac{\left|∆l\right|}{l_0}$

- Trong giới hạn đàn hồi, độ biến dạng tỉ đối của vật rắn đồng chất, hình trụ tỉ lệ thuận với ứng suất tác dụng vào vật đó.

$\epsilon =\frac{\left|∆l\right|}{l_0}=\alpha \sigma =\alpha .\frac{F}{S}$

Với α là hệ số tỉ lệ phụ thuộc chất liệu của vật rắn

- Biến dạng tỉ đối ε của thanh rắn (bị kéo hoặc nén) không chỉ phụ thuộc độ lớn của lực tác dụng $\overrightarrow{F}$ mà còn phụ thuộc tiết diện ngang S của thanh đó.

+ Nếu $\overrightarrow{F}$ càng lớn và S càng nhỏ thì ε càng lớn, tức là mức độ biến dạng của thanh rắn càng lớn.

+ Nếu $\overrightarrow{F}$ càng nhỏ và S càng lớn thì ε càng nhỏ, tức là mức độ biến dạng của thanh rắn càng nhỏ.

- Áp dụng định luật III Niu-ton và công thức ứng suất, ta có độ lớn của lực đàn hồi F_đh là:

$F_{đh}=F\Rightarrow F_{đh}=\sigma .S=E\frac{S}{l_0}.\left|∆l\right|=k.\left|∆l\right|$

Với $k=E.\frac{S}{l_0}$ là độ cứng (hay hệ số đàn hồi của vật rắn) (N/m)

- Suất đàn hồi còn được tính bằng công thức:

$E=\frac{\sigma .l_0}{\left|∆l\right|}=\frac{F.l_0}{S.\left|∆l\right|}$

- Từ công thức suất đàn hồi, ta có thể tính:

+ Lực kéo hoặc nén tác dụng lên thanh: $F=\sigma .S=\frac{\epsilon }{\alpha }.S=\epsilon .E.S=\frac{\left|∆l\right|}{l_0}.E.S$

+ Tiết diện của thanh:$S=\frac{F}{\sigma }=\frac{F.\alpha }{\epsilon }=\frac{F.\alpha .l_0}{\left|∆l\right|}=\frac{F.l_0}{E.\left|∆l\right|}$

+ Độ biến dạng của thanh: $\left|∆l\right|=\alpha .\sigma .l_0=\frac{\sigma .l_0}{E}=\frac{F.l_0}{E.S}$

+ Độ dài ban đầu của thanh: $l_0=\frac{\left|∆l\right|}{\alpha .\sigma }=\frac{\left|∆l\right|.S}{\alpha .F}=\frac{E.\left|∆l\right|.S}{F}$

+ Ứng suất: $\sigma =\epsilon .E=\frac{\epsilon }{\alpha }=\frac{\left|∆l\right|}{l_0}.E$

+ Biến dạng tỉ đối: $\epsilon =\frac{\sigma }{E}=\frac{F}{S.E}=\frac{1}{\alpha }$

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một thanh đồng có đường kính d = 20 mm. Xác định độ biến dạng nén tỉ đối của thanh này khi hai đầu của nó chịu tác dụng của một lực nén F = 94,2 kN. Cho biết suất đàn hồi của đồng là 11,8.10¹⁰ Pa.

Lời giải

Áp dụng công thức về độ biến dạng tỉ đối của vật rắn:

$\epsilon =\frac{\left|∆l\right|}{l_0}=\frac{1}{E}.\frac{F}{S}$

Ta có: S = $\frac{{\mathrm{\pi d}}^2}{4}$

Độ biến dạng nén tỉ đối của thanh dây là:

$\epsilon =\frac{\left|∆l\right|}{l_0}=\frac{1}{E}.\frac{4Ff}{{\mathrm{\pi d}}^2}=\frac{1}{11,8.{10}^{10}}.\frac{4.94,2.{10}^3}{3,14.{(20.{10}^{-3})}^2}\approx 0,25\%$

Bài 2: Một sợi dây kim loại dài 1,8m và có đường kính 0,8mm. Người ta dùng nó để treo một vật nặng. Vật này tạo nên một lực kéo dây bằng 25N và làm dây dài thêm một đoạn bằng 1mm. Xác định suất đàn hồi của kim loại đó?

Lời giải:

Ta có: $S=\frac{{\mathrm{\pi d}}^2}{4}=\mathrm{\pi }.{\left(\frac{0,8.{10}^{-3}}{2}\right)}^2=1,6.{10}^{-7}\mathrm{\pi } \left({\mathrm{m}}^2\right)$

Suất đàn hồi của kim loại được xác định qua công thức:

$E=\frac{\sigma .l_0}{\left|∆l\right|}=\frac{F.l_0}{S.\left|∆l\right|}=\frac{25.1,8}{1,6.{10}^{-7}.\mathrm{\pi }.{10}^{-3}}=8,95.{10}^{10}Pa$

Bài 3: Một thanh rắn hình trụ một đầu chịu một lực nén có độ lớn bằng 3,14.10⁵N, đầu còn lại giữ cố định. Biết thanh rắn có đường kính 20mm, suất đàn hồi 2.10¹¹Pa. Tìm độ biến dạng tỷ đối của của thanh.

Lời giải:

Tóm tắt: F _đh=2,14.10⁵N; d=20mm=20.10^-3m

=> S=πd²/4; E=2.10¹¹Pa.

F${}_{đh}$=E.S.ε => ε=3,4.10^-3

Bài 4: Một dây thép chiều dài 100cm có một đầu cố định, treo một vật có khối lượng 100kg vào đầu dây còn lại thì chiều dài của dây thép là 101cm. Biết suất đàn hồi của thép là 2.10¹¹Pa. Tính đường kính tiết diện của dây, lấy g=10m/s²

Lời giải:

Tóm tắt: l_o=100cm=1m; Δl=101 – 100=1cm=10^-2m; m=100kg; E=2.10¹¹Pa

F${}_{đh}$=m.g=${\displaystyle \frac{ES}{l_o}}\mathrm{\Delta }l$=${\displaystyle \frac{\pi d^2.E}{4.l_o}}\mathrm{\Delta }l$

=> d=7,98.10${}^{-4}$ (m)

Bài tập 5: Một sợi dây bằng kim loại dài ra thêm 1,2mm khi treo vật nặng có khối lượng 6kg biết chiều dài ban đầu là 2m. Tính hệ số đàn hồi của kim loại làm dây, lấy g=10m/s².

Lời giải:

Tóm tắt: Δl = 1,2mm=1,2.10^-3(m); m=6kg

F${}_{đh}$=m.g=k.Δl => k=${\displaystyle \frac{mg}{\mathrm{\Delta }l}}$=50000 (N/m)

Bài 6: Biết suất đàn hồi của dây bằng kim loại đường kính 1mm là 9.10¹⁰Pa. Tính độ lớn lực kéo tác dụng làm dây dài ra thêm 1% so với chiều dài ban đầu.

Lời giải:

Tóm tắt: $\mathrm{\Delta }\ell$=1%l_o=0,01l_o. E=9.10¹⁰Pa; d=1mm=10^-3(m) => S=πd²/4

F${}_{đh}$= ${\displaystyle \frac{ES}{l_o}}\mathrm{\Delta }\ell$=706,5N