Công thức tính lực hấp dẫn và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Công thức tính lực hấp dẫn và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

- Mọi vật trong vũ trụ đều hút nhau với một lực gọi là lực hấp dẫn.

- Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm bất kì tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng.

2. Công thức

$F_{hd}=G.\frac{m_1.m_2}{r^2} \left(1\right)$

Trong đó:

+ m₁, m₂ là khối lượng 2 chất điểm (kg).

+ r là khoảng cách giữa chúng (m).

+ hằng số hấp dẫn G = 6,67.10^-11Nm²/kg².

- Hệ thức (1) áp dụng được cho các vật thông thường trong hai trường hợp:

+ Khoảng cách giữa hai vật rất lớn so với kích thước của chúng;

+ Các vật đồng chất và có dạng hình cầu. Khi ấy r là khoảng cách giữa hai tâm và lực hấp dẫn nằm trên đường nối hai tâm và đặt vào hai tâm đó.

3. Kiến thức mở rộng

- Theo Niu – tơn thì trọng lực mà Trái Đất tác dụng lên một vật là lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật đó. Độ lớn của trọng lực (tức trọng lượng) bằng:

$P=\frac{GM.m}{{(R+h)}^2} \left(1\right)$

Trong đó:

+ m là khối lượng của vật (kg)

+ M và R là khối lượng và bán kính của Trái Đất

+ h là độ cao của vật so với mặt đất (m)

Từ (1), ta tính được:

+ Gia tốc trọng trường độ cao h: $g=\frac{GM}{{(R+h)}^2}$

+ Gia tốc trọng trường ở gần mặt đất: (h << R):

$g=\frac{GM}{R^2}$

- Khối lượng Trái Đất thường lấy M = 6.10²⁴ kg

- Bán kính Trái Đất thường lấy R = 64.10⁵ m

II. Bài tập vận dụng

Câu 1: Hai tàu thủy mỗi chiếc có khối lượng 50000 tấn ở cách nhau 1km. So sánh lực hấp dẫn giữa chúng với trọng lượng của 1 quả cân có khối lượng 20g? Lấy g = 10m/s².

Lời giải:

$$\begin{gathered} F=\frac{G.m_1.m_2}{R^2}=\frac{6,67.{10}^{-11}.{(5.{10}^7)}^2}{{10}^6} \\ =0,170 N<20.{10}^{-3}.10=200.{10}^{-3}N \end{gathered}$$

Câu 2: Biết khối lượng của sao hỏa bằng 0,11 khối lượng trái đất, còn bán kính của sao hỏa bằng 0,53 bán kính trái đất. Xác định gia tốc rơi tự do trên sao hỏa biết trái đất là 9,8m/s². Nếu một người trên trái đất có trọng lượng là 600N thì trên sao hỏa có trọng lượng bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có $F=G\frac{Mm}{R^2}=mg$

Khi ở trên Trái Đất $g_{TD}=\frac{G{M}_{TD}}{R_{TD}^2}=9,8 (m/s^2) \left(1\right)$

Khi ở trên Sao Hỏa $g_{SH}=\frac{G.M_{SH}}{R_{SH}^2} \left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: $g_{SH}=\frac{9,8.0,11}{{(0,53)}^2}=3,8 (m/s^2)$

Ta có $\frac{P_{SH}}{P_{TD}}=\frac{g_{SH}}{g_{TD}}\Rightarrow P_{SH}=\frac{600.3,8}{9,8}=232,653 N$

Câu 3: Hai tàu thuỷ có khối lượng 50000 tấn ở cách nhau 1 km. Tính lực hấp dẫn giữa chúng.

Lời giải:

Đổi: 50000 tấn = 5.10⁷ kg, 1 km = 1000 m

Độ lớn lực hấp dẫn giữa chúng là:

$F_{hd}=G\frac{M_1{M}_2}{r^2}=6,67.{10}^{-11}.\frac{{\left(5.{10}^7\right)}^2}{{1000}^2}=0,167 \left(N\right)$

Câu 4: Khối lượng Mặt Trăng nhỏ hơn khối lượng Trái Đất 81 lần, khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng gấp 60 lần bán kính Trái Đất. Lực hút của Trái Đất và của Mặt Trăng tác dụng vào cùng một vật bằng nhau tại điểm nào trên đường thẳng nối tâm của chúng?

Lời giải:

Gọi khối lượng Mặt Trăng là M ⇒ khối lượng Trái Đất là 81 M

Bán kính Trái Đất là R thì khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 60 R

Gọi h là khoảng cách điểm cần tìm đến tâm Trái Đất ⇒ khoảng cách từ điểm đó đến tâm Mặt Trăng là 60R - h (R, h > 0)

Theo bài ra: lực hút của Trái Đất tác dụng vào vật đó cân bằng với lực hút từ Mặt trăng tác dụng vào vật

F_hd1 = F_hd2

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{G.81M.m}{h^2}=\frac{GMm}{{(60R-h)}^2} \\ \Rightarrow h=54R \end{gathered}$$

Câu 5: Trong một quả cầu đặc đồng chất, bán kính R, người ta khoét một lỗ hình cầu có bán kính $\frac{R}{2}$. Tìm lực tác dụng đặt lên vật m nhỏ cách tâm quả cầu một khoảng d. Biết khi chưa khoét, quả cầu có khối lượng M

Lời giải:

Gọi F₁ là lực hấp dẫn giữa quả cầu đã bị khoét với vật m

F₂ là lực hấp dẫn giữa quả cầu đã bị khoét đi với vật m

F là lực hấp dẫn giữa quả cầu đã bị khoét đi với vật m

F = F₁ + F₂ ⇒ F₁ = F – F₂

$\Rightarrow F_1=G.\frac{Mm}{d^2}-G.\frac{m_{2}m}{{(d-{\displaystyle \frac{R}{2}})}^2}$

Vì khối lượng tỉ lệ với thể tích

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{m_2}{M}=\frac{v_2}{V}=\frac{{\left({\displaystyle \frac{R}{2}}\right)}^3}{R^3}=\frac{1}{8}\Rightarrow 8m_2=M \\ \Rightarrow F_1=G.\frac{Mm}{d^2}=G.\frac{Mm}{8.{\left(d-{\displaystyle \frac{R}{2}}\right)}^2}=GMm\left[\frac{1}{d^2}-\frac{1}{8{\left(d-{\displaystyle \frac{R}{2}}\right)}^2}\right] \end{gathered}$$

Câu 6: Trái Đất có khối lượng 6.1024 kg, Mặt Trăng có khối lượng 7,4.10²² kg. Bán kính quỹ đạo của Mặt Trăng là R = 385000 km. Tại điểm nào trên mặt phẳng nối tâm của chúng, vật bị hút về Trái Đất và Mặt Trăng với những lực bằng nhau?

Lời giải:

$$\begin{gathered} F_{hd1}=F_{hd2} \\ \Rightarrow G\frac{Mm}{h^2}=G.\frac{m_{1}m}{{(R-h)}^2} \end{gathered}$$

⇒ M(R-h)² = m₁h²

⇔ MR² – MRh + Mh² = m₁h²

⇔ h = 0,9R = 346846,8 km

Câu 7: Sao Hỏa có bán kính bằng 0,53 bán kính Trái Đất và có khối lượng bằng 0,1 lần khối lượng Trái Đất. Tính gia tốc rơi tự do trên sao Hỏa. Biết gia tốc rơi tự do của vật trên mặt đất là 0,98 m/s²

Lời giải:

Ta có:

$g_H=\frac{G.m_H}{{R_H}^2}=\frac{G.0,1M_{TĐ}}{{(0,53R_{TĐ})}^2}=\frac{0,1}{0,{53}^2}.g=3,5 m/s^2$

Câu 8: Hai vật có kích thước nhỏ X và Y cách nhau 1 khoảng d (m) thì X hấp dẫn Y với một lực 16 N. Nếu khoảng cách giữa X và Y bị thay đổi thành 2d thì Y sẽ hấp dẫn X với một lực bằng:

A. 1 N B. 4 N C. 8 N D. 16 N

Lời giải:

$$\begin{gathered} F_{hd1}=G\frac{M_1{M}_2}{d^2}=16N \\ {F}_{hd2}=G\frac{M_1{M}_2}{{\left(2d\right)}^2} \\ \Rightarrow \frac{F_{hd1}}{F_{hd2}}=4\Rightarrow F_{hd2}=4N \end{gathered}$$

Câu 9: Hai quả cầu đồng chất đặt cách nhau một khoảng nào đó. Nếu bào mòn sao cho bán kính mỗi quả cầu giảm đi một nửa mà giữ nguyên khoảng cách thì lực hấp dẫn giữa chúng sẽ giảm đi:

A. 4 lần B. 8 lần C. 16 lần D. 64 lần

Lời giải:

Lực hấp dẫn ban đầu:

$F_{hd1}=G\frac{M_1{M}_2}{r^2}$

Ta có: m = D.V ( trong đó, D là khối lượng riêng của chất làm nên vật, V là thể tích của vật)

Mà thể tích hình cầu: V = (4/3)πr³

Nên bán kính giảm 2 lần thì thể tích giảm 2³ = 8 lần, suy ra khối lượng 2 quả cầu lúc sau giảm 8 lần so với khối lượng ban đầu

Lực hấp dẫn lúc sau:

$$\begin{gathered} F_{hd2}=G\frac{{\displaystyle \frac{M_1}{8}}.{\displaystyle \frac{M_2}{8}}}{r^2} \\ \Rightarrow \frac{F_{hd1}}{F_{hd2}}=64 lần \end{gathered}$$

Câu 10: Hai quả cầu bằng chì, mỗi quả có khối lượng 45 kg, bán kính 10 cm. Lực hấp dẫn giữa chúng có thể đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

A. 3,38. 10^-4 N B. 3,38. 10^-5 N C. 3,38. 10^-6 N D. 3,38. 10^-7 N

Lời giải:

$F_{hdmax}=G\frac{M_1{M}_2}{{r_{min}}^2}=\frac{6,67.{10}^{-11}.{\left(45\right)}^2}{{(20.{10}^{-2})}^2}=3,38.{10}^{-6}N$