Công thức định luật bảo toàn cơ năng và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Công thức định luật bảo toàn cơ năng và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Nếu không có các lực ma sát, lực cản của môi trường … thì vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi và cơ năng của vật được bảo toàn.

Thả một vật từ trên cao xuống, cơ năng của vật tại vị trí A = cơ năng của vật tại vị trí B = cơ năng của vật tại vị trí C.

2. Công thức

Khi một vật chuyển động trong trọng trường chỉ chịu tác dụng của trọng lực thì cơ năng của vật là một đại lượng bảo toàn.

$W=W_{đ}+W_t=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{(∆l)}^2=hằng số$

Khi một vật chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi gây bởi sự biến dạng của một lò xo đàn hồi thì trong quá trình chuyển động của vật, cơ năng được tính bằng tổng động năng và thế năng đàn hồi của vật là một đại lượng bảo toàn.

$W=W_{đ}+W_t=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{(∆l)}^2=hằng số$

Hay ta có thể bảo toàn cơ năng của vật trong quá trình vật chuyển động ở các vị trí khác nhau (bỏ qua mọi ma sát khi chuyển động). Ta có

W₁ = W₂ hay W_t1 + W_đ1 = W_t2 + W_đ2

Trong đó:

W₁ là cơ năng của vật tại vị trí đầu (J)

W₂ là cơ năng của vật tại vị trí sau(J)

W_đ1 là động năng của vật tại vị trí đầu (J)

W_t1 là thế năng của vật tại vị trí đầu(J)

W_đ2 là động năng của vật tại vị trí sau (J)

W_t2 là thế năng của vật tại vị trí sau (J)

3. Kiến thức mở rộng

- Trong quá trình chuyển động, nếu vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực, động năng có thể chuyển thành thế năng và ngược lại, và tổng của chúng, tức là cơ năng của vật, được bảo toàn (không đổi theo thời gian).

W₁ = W₂ hay W_t1 + W_đ1 = W_t2 + W_đ2

=> $\frac{1}{2}$ mv₁² + mgz₁ = $\frac{1}{2}$ mv₂² + mgz₂ = hằng số

Trong đó:

W_đ1 = $\frac{1}{2}$mv₁²là động năng của vật tại vị trí đầu (J)

W_t1 = mgz₁là thế năng hấp dẫn của vật tại vị trí đầu(J)

W_đ2 = ${\frac{1}{2}}_{}$mv₂²là động năng của vật tại vị trí sau (J)

W_t2 = mgz₂là thế năng hấp dẫn của vật tại vị trí sau (J)

Vật m chuyển động từ vị trí M đến N chỉ chịu tác dụng của trọng lực

- Khi một vật chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi gây bởi sự biến dạng của một lò xo đàn hồi thì trong quá trình chuyển động của vật, cơ năng được tính bằng tổng động năng và thế năng đàn hồi của vật là đại lượng bảo toàn.

$\frac{1}{2}$mv₁²+ $\frac{1}{2}$k($∆$ℓ₁)²=$\frac{1}{2}$mv₂²+ $\frac{1}{2}$ k($∆$ℓ₂)²

Trong đó:

W_đ1 = $\frac{1}{2}$ mv₁²là động năng của vật tại vị trí đầu (J)

W_t1 = $\frac{1}{2}$ k($∆$ℓ₁)²là thế năng đàn hồi của vật tại vị trí đầu(J)

W_đ2 = $\frac{1}{2}$ mv₂²là động năng của vật tại vị trí sau (J)

W_t2 = $\frac{1}{2}$ k($∆$ℓ₂)²là thế năng đàn hồi của vật tại vị trí sau (J)

- Định luật bảo toàn cơ năng chỉ đúng khi vật chuyển động chỉ chịu tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi. Nếu vật còn chịu tác dụng của lực ma sát, lực cản, lực kéo… (gọi là lực không thế) thì cơ năng của vật sẽ biến đổi. Công của các lực cản, lực ma sát... sẽ bằng độ biến thiên của cơ năng:

A_{Lực không thế} = W₂ - W₁ = ∆W

Trong đó: W₁ là cơ năng của vật tại vị trí đầu (J)

W₂ là cơ năng của vật tại vị trí sau(J)

- Trong quá trình chuyển động của một vật trong trọng trường:

+ Nếu động năng giảm thì thế năng tăng và ngược lại.

+ Tại vị trí nào động năng cực đại thì thế năng cực tiểu và ngược lại.

Một con lắc đơn đang dao động.

- Tại A, B con lắc có động năng cực tiểu, thế năng cực đại

- Tại O, con lắc có động năng cực đại, thế năng cực tiểu

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một vật được ném lên theo phương thẳng đứng từ một điểm A cách mặt đất một khoảng 4m. Người ta quan sát thấy vật rơi chạm đất với vận tốc có độ lớn bằng 12m/s. Cho g = 10m/s². Tính độ cao cực đại vật đạt được?

Lời giải

Chọn mốc thế năng tại mặt đất, ta có:

+ Cơ năng tại vị trí vật đạt độ cao cực đại = Thế năng cực đại vật đạt được:

${W_t}_{max}=mg{h}_{max}$

+ Cơ năng của vật khi chạm đất: $W_{cđ}=\frac{1}{2}m{v}^2$ (do thế năng lúc này bằng 0)

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí trên, ta có:

$W_{t_{max}}=W_{cđ}\Rightarrow mg{h}_{max}=\frac{1}{2}m{v}^2\Rightarrow h_{max}=\frac{v^2}{2g}=\frac{{12}^2}{2.10}=7,2m$

Bài 2: Một vật bắt đầu trượt không ma sát từ đỉnh mặt phẳng nghiêng dài 20m nghiêng góc 30⁰ so với phương ngang. Bỏ qua ma sát trên mặt phẳng nghiêng. Tính vận tốc vật tại chân mặt phẳng nghiêng.

Lời giải

Chọn mốc thế năng tại mặt đất, ta có:

- Tại A:

+ Động năng của vật bằng 0 (do vật bắt đầu trượt => v₀ = 0m/s)

+ Thế năng của vật ${W_t}_A=mg{h}_A=mgAB$

Lại có: $\sin \alpha =\frac{AB}{AC}\Rightarrow AB=AC\sin \alpha$

=>Cơ năng của vật tại A: $W_A=W_{đA}+W_{tA}=mgAC\sin {30}^0$

- Tại C:

+ Thế năng của vật bằng 0 (do h_C = 0)

+ Động năng của vật: $W_{đc}=\frac{1}{2}m{v}_c^2$

=> Cơ năng của vật tại C: $W_c=W_{đc}+Wtc=\frac{1}{2}m{v}_c^2$

Do bỏ qua ma sát trên mặt phẳng nghiêng

$$\begin{gathered} - Cơ năng của vật được bảo toàn \\ \Rightarrow W_A=W_c \\ \Rightarrow mgAC\sin \alpha =\frac{1}{2}m{v}_c^2 \\ \Rightarrow \sqrt{2gAC\sin }\alpha =\sqrt{2.10.10.\sin {30}^0}=10\sqrt{2}(m/s) \end{gathered}$$

Bài 3: Từ độ cao 10 m, một vật được ném thẳng đứng lên cao với vận tốc 10 m/s, lấy g = 10 m/s².

a. Tìm độ cao cực đại mà vật đạt được so với mặt đất.

b. Ở vị trí nào thì W_đ = 3 W_t.

c. Xác định vận tốc của vật khi W_đ = W_t.

d. Xác định vận tốc của vật trước khi chạm đất.

Lời giải

Chọn gốc thế năng tại mặt đất.

a. Cơ năng tại O: W(O) = (1/2) m v₀² + mgh.

Cơ năng tại : W(A) = mgh.

Theo định luật bảo toàn cơ năng: W(O) = W(A).

$\Rightarrow h=\frac{v_0^2+2gh}{2g}=15m$

b) Tính h₁ để: W_đ1 = 3 W_t3.

Gọi C là điểm có W_đ1 = 3 W_t3 .

Cơ năng tại C: W(C) = 4 W_t1 = 4 mgh₁.

Theo định luật bảo toàn cơ năng:

W(C) = W(A)

$\Rightarrow h_1=\frac{h}{4}=\frac{15}{4}=3,75m$

c. Tìm v₂ để W_đ2 = W_t2.

Gọi D là điểm có W_đ2 = W_t2.

Cơ năng tại D: W(D) = 2 W_đ2 = m v₂²

Theo định luật bảo toàn cơ năng: W (D) = W (A).

$\Rightarrow v_2=\sqrt{gh}=\sqrt{15.10}=12,2 m/s$

d. Cơ năng tại B: W (B) = $\frac{1}{2}$ mv².

$W\left(B\right)=W\left(A\right)\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=24,4 m/s$

Bài 4: Một hòn bi có khối lượng 20 g được ném thẳng đứng lên cao với vận tốc 4m/s từ độ cao 1,6 m so với mặt đất.

a. Tính trong hệ quy chiếu mặt đất các giá trị động năng, thế năng và cơ năng của hòn bi tại lúc ném vật.

b. Tìm độ cao cực đại mà bi đạt được.

c. Tìm vị trí hòn bi có thế năng bằng động năng.

d. Nếu có lực cản 5N tác dụng thì độ cao cực đại mà vật lên được là bao nhiêu?

Lời giải

a. Chọn gốc thế năng tại mặt đất.

Động năng tại lúc ném vật: W_đ = (1/2) mv² = 0,16 J.

Thế năng tại lúc ném vật: W_t = mgh = 0,31 J.

Cơ năng của hòn bi tại lúc ném vật: W = W_đ + W_t = 0,47 J.

b. Gọi điểm B là điểm mà hòn bi đạt được.

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: W_A = W_B ⇔ h_max = 2,42 m.

c. 2 W_t = W ⇔ h = 1,175 m.

d. A_cản = W'- W ⇔ F_c ( h'- h )= mgh' ⇔ $h\text{'}=\frac{F_{c}h+W}{F_c+mgh}=1,63m$

Bài 5: Một vật có khối lượng m = 1kg trượt từ đỉnh của mặt phẳng nghiêng cao 1 m, dài 10 m. Lấy g = 9,8 m/s², hệ số ma sát μ = 0,05.

a. Tính vận tốc của vật tại cân mặt phẳng nghiêng.

b. Tính quãng đường mà vật đi thêm được cho đến khi dừng hẳn trên mặt phẳng ngang.

Lời giải

a. Cơ năng tại A: W_A = mgh = 9,8 (J).

Trong khi vật chuyển động từ A đến B, tại B cơ năng chuyển hóa thành động năng tại B và công để thắng lực ma sát

⇒ Áp dụng định luật bảo toàn chuyển hóa năng lượng:

$W\left(A\right)=W_{đ}\left(B\right)+A=\frac{1}{2}m{v}_B^2+\mu P\sin \alpha$

⇔ v_B = 3,1 m/s.

b. Tại điểm C vật dừng lại thì toàn bộ động năng tại B đã chuyển thành năng lượng để thắng lực ma sát trên đoạn BC.

Do đó:

W_đ(B)= |A_BC| = μ.mg.BC ⇔ BC = 10 m.

Bài 6: Từ điểm A của một mặt bàn phẳng nghiêng, người ta thả một vật có khối lượng m = 0,2 kg trượt không ma sát với vận tốc ban đầu bằng 0 rơi xuống đất. Cho AB = 50 cm, BC = 100 cm, AD = 130 cm, g = 10 m/s² (hình vẽ). Bỏ qua lực cản không khí.

a. Tính vận tốc của vật tại điểm B và điểm chạm đất E.

b. Chứng minh rẳng quỹ đạo của vật là một parabol. Vật rơi cách chân bàn một đoạn CE là bao nhiêu?

c. Khi rơi xuống đất, vật ngập sâu vào đất 2cm. Tính lực cản trung bình của đất lên vật.

Lời giải

a. Vì bỏ qua ma sát nên cơ năng của vật được bảo toàn. Cơ năng của vật tại A là:

W_A = m.g.AD

Cơ năng của vật tại B: W_B = (1/2) m.v_b² + m.g.BC.

Vì cơ năng được bảo toàn nên: W_A = W_B.

⇔ m.g.AD = (1/2) mv_B² + m.g.BC ⇔ v_B = √6 = 2,45 m/s.

Tương tự áp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại A và E ta tính được:

v_E = 5,1 m/s.

b. Chọn hệ quy chiếu (hình vẽ). Khi vật rơi khỏi B, vận tốc ban đầu v_B hợp với phương ngang một góc α. Xét tam giác ABH có:

$\sin \alpha =\frac{AH}{BC}=\frac{AD-BC}{AB}=\frac{3}{5}$

Phương trình chuyển động theo các trục x và y là:

x = v_B cosα.t (2)

y = h - v_B sinα.t - (1/2) gt² (3)

Từ (2) và (3) ta rút ra được:

$y=h-x\tan \alpha -\frac{1}{2}.\frac{g}{v_B^2.{\cos }^2\alpha } \left(4\right)$

Đây chính là phương trình của một parabol có bề lõm quay xuống dưới. Vậy quỹ đạo cảu vật sau khi dời bàn là một parabol.

Từ (1): $\sin \alpha =\frac{3}{5}\iff \cos \alpha =\frac{4}{5} và \tan \alpha =\frac{3}{4}$

Khi vật chạm đất tại E thì y = 0. Thay giá trị của y và v_B vào phương trình (4), ta thu được phương trình: 13x² + 0,75x - 1 = 0 (5)

Giải phương trình (5) thu được x = 0,635 m. Vậy vật rơi cách chân bàn một đoạn CE = 0,635 m.

c. Sau khi ngập sâu vào đất 2 cm vật đứng yên. Độ giảm động năng gần đúng bằng công cản.

Gọi lực cản trung bình là F, ta có:

W_E - 0 = F.s ⇔ F = $\frac{W_E}{s}$ = 130 N.