Công thức tính thế năng hấp dẫn và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Công thức tính thế năng hấp dẫn và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

- Xung quanh Trái Đất tồn tại một trọng trường. Biểu hiện của trọng trường là sự xuất hiện trọng lực tác dụng lên một vật khối lượng m đặt tại một vị trí bất kì trong khoảng không gian có trọng trường.

- Thế năng hấp dẫn (thế năng trọng trường) của một vật là dạng năng lượng tương tác giữa Trái Đất và vật; nó phụ thuộc vào vị trí của vật trong trọng trường.

- Thế năng hấp dẫn là năng lượng có được khi vật ở trên cao so với mặt đất (ngay cả khi vật không chuyển động).

Cánh diều trên bầu trời, cánh diều có thế năng trọng trường.

2. Công thức

- Khi một vật có khối lượng m đặt ở độ cao z so với mặt đất (trong trọng trường của Trái Đất) thì thế năng hấp dẫn của vật được định nghĩa bằng công thức:

W_t = mgz

Trong đó:

m: khối lượng của vật (kg)

g: gia tốc trọng trường (m/s²).

z: Độ cao của vật so với gốc thế năng (m)

- Thế năng ở ngay trên mặt đất bằng 0 (vì z = 0). Vì vậy, mặt đất được chọn là mốc (hay gốc) thế năng.

3. Kiến thức mở rộng

- Từ công thức trên, ta có thể tính:

+ Khối lượng của vật: $m=\frac{W_t}{g.z}$

+ Độ cao của vật so với gốc thế năng: $z=\frac{W_t}{m.g}$

- Liên hệ giữa biến thiên thế năng và công của trọng lực:

Khi một vật chuyển động trong trọng trường từ vị trí M đến vị trí N thì công của trọng lực của vật có giá trị bằng hiệu thế năng trọng trường tại M và tại N.

A_MN= W_t1 – W_t2= ∆W_t = mgz_M - mgz_N

Trong đó:

A₁₂: công của trọng lực chuyển từ vị trí 1 sang vị trí 2

W_t1 – W_t2= ∆W_t : độ giảm thế năng

Chú ý:

Nếu A_MN > 0 thì ∆W_t > 0: thế năng của vật giảm

Nếu A_MN < 0 thì ∆W_t < 0: thế năng của vật tăng

- Khi vật đi từ cao xuống thấp:

A₁₂ > 0: công phát động, thế năng của vật giảm

- Khi vật đi từ thấp lên cao:

A₁₂ < 0: công cản, thế năng của vật tăng

- Khi vật dịch chuyển theo quỹ đạo là đường cong kín:

A₁₂ =0, tổng đại số công thực hiện bằng 0

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một thang máy có khối lượng 1 tấn chuyển động từ tầng cao nhất cách tầng 10 60m xuống tầng thứ 10 cách mặt đất 40m. Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất, lấy g = 9,8m/s². Thế năng của thang máy ở tầng cao nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Vì gốc thế năng tại mặt đất nên khoảng cách từ thang máy khi ở tầng cao nhất đến gốc là:

Z = 60 + 40 = 100m

Thế năng của thang máy khi ở tầng cao nhất là:

W_t = mgz =1000.9,8.10 = 980000J = 980kJ.

Bài 2: Một người có khối lượng 60kg đứng trên mặt đất và cạnh một cái giếng nước, lấy g = 10 m/s².

a. Tính thế năng của người tại A cách mặt đất 3m về phía trên và tại đáy giếng cách mặt đất 5m với gốc thế năng tại mặt đất.

b. Nếu lấy mốc thể năng tại đáy giếng, hãy tính lại kết quả câu trên

Lời giải

a. Mốc thế năng tại mặt đất

Thế năng của người tại A cách mặt đất 3m là:

W_tA = mgz_A = 60.10.3 = 1800(J)

Gọi B là đáy giếng thì thế năng tại đáy giếng cách mặt đất 5m là:

W_tB = - mgz_B = - 60.10.5 = - 3000(J)

b. Mốc thế năng tại đáy giếng:

Thế năng của người tại A cách mặt đất 3m là:

W_tA = mgz_A = 60.10.(3 + 5) = 4800(J)

Thế năng tại đáy giếng cách mặt đất 5m là:

W_tB = mgz_B = 60.10.0 = 0(J)

Bài 3: Nếu thế năng của vật tính được bằng 2kg, vật nằm dưới đáy giếng sâu khoảng 10m, g = 10m/s2. Lúc này gốc thế năng tại mặt đất là bao nhiêu?

Lời giải

A = W_t - W_t0

=> W_t = m.g.h = 2.10.(-10) = -200 (J)

Bài 4. Từ độ cao 180 m, người ta thả rơi một vật nặng không vận tốc ban đầu. Bỏ qua sức cản không khí. Lấy g=10 m/s². Xác định:

a) Độ cao mà ở đó thế năng bằng động năng và tính vận tốc của vật ở độ cao đó.

b) Vận tốc của vật lúc chạm đất.

Lời giải

Chọn gốc thế năng ở mặt đất.

a) Vị trí mà thế năng bằng động năng:

mgz₁ = mgz₂ + 0,5mv₂² = 2mgz₂ => z2 =$\frac{z_1}{2}$=90 m;

mgz₂ = 0,5mv₂² => v₂ = 42,4 m/s.

b) Vận tốc của vật lúc chạm đất:

mgz₁ = 0,5mv₃² => v₃ = 60 m/s.

Bài 5. Một vật có khối lượng 1 kg đang ở cách mặt đất một khoảng H=20 m. Ở chân đường thẳng đứng đi qua vật có một cái hố sâu h=5 m. Cho g=10 m/s².

a) Tính thế năng của vật khi chọn gốc thế năng là đáy hố.

b) Cho vật rơi không vận tốc ban đầu, tìm vận tốc của vật khi chạm đáy hố. Bỏ qua sức cản của không khí.

c) Với gốc thế năng là mặt đất thì thế năng của vật khi nằm ở đáy hố bằng bao nhiêu?

Lời giải

a) Với gốc thế năng là đáy hố:

z = H + h = 25 m; W_t = mgz = 250 J.

b) Theo định luật bảo toàn cơ năng:

mgz₁ + $\frac{1}{2}$mv₁²=mgz₂ + $\frac{1}{2}$mv₂² ; vì v₁ = 0 ; z₁ = z ; z₂ = 0

nên: mgz – $\frac{1}{2}$mv₂² => v₂ = $\sqrt{2gz}$ = 22,4 m/s.

c) Với gốc thế năng ở mặt đất: z = - h = - 5 m; W_t = mgz = - 50 J.