Công thức định luật vạn vật hấp dẫn và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Công thức định luật vạn vật hấp dẫn và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

- Mọi vật trong vũ trụ đều hút nhau với một lực gọi là lực hấp dẫn.

- Định luật vạn vật hấp dẫn: lực hấp dẫn giữa hai chất điểm bất kì tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Hệ thức áp dụng được cho các vật thông thường trong hai trường hợp:

+ Khoảng cách giữa hai vật rất lớn so với kích thước của chúng;

+ Các vật đồng chất và có dạng hình cầu. Khi ấy r là khoảng cách giữa hai tâm và lực hấp dẫn nằm trên đường nối hai tâm và đặt vào hai tâm đó.

2. Công thức

$F_{hd}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}\left(1\right)$

Trong đó:

+ m₁, m₂ là khối lượng 2 chất điểm (kg).

+ r là khoảng cách giữa chúng (m).

+ hằng số hấp dẫn G = 6,67.10^-11 (Nm2/kg²).

3. Kiến thức mở rộng

- Theo Niu – tơn thì trọng lực mà Trái Đất tác dụng lên một vật là lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật đó. Độ lớn của trọng lực (tức trọng lượng) bằng:

$P=\frac{GM.m}{{(R+h)}^2} \left(1\right)$

Trong đó:

+ m là khối lượng của vật (kg)

+ M và R là khối lượng và bán kính của Trái Đất

+ h là độ cao của vật so với mặt đất (m)

Từ (1), ta tính được:

+ Gia tốc trọng trường độ cao h: $g=\frac{GM}{{(R+h)}^2}$

+ Gia tốc trọng trường ở gần mặt đất: (h << R):

$g=\frac{GM}{R^2}$

- Khối lượng Trái Đất thường lấy M = 6.10²⁴ kg

- Bán kính Trái Đất thường lấy R = 64.10⁵ m

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hai khối cầu giống nhau được đặt sao cho tâm cách nhau khoảng r thì lực hấp dẫn giữa chúng là F. Nếu thay một trong hai khối cầu trên bằng một khối cầu đồng chất khác nhưng có bán kính lớn gấp hai, vẫn giữ nguyên khoảng cách giữa hai tâm (hai khối cầu không chạm nhau) thì lực hấp dẫn giữa chùng lúc này là:

A. 2F. B. 16F. C. 8F. D. 4F.

Lời giải

Ban đầu, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}{m}_1=m_2=m=D{V}_1=D\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}_1^3\\ r_1=r_2\\ F_{hd}=G\frac{m^2}{r^2}=F\end{array}\right.$

Giả sử ta thay m₂ → m₂′

Ta có: r′₂ = 2r₂ = 2r₁

+ Khối lượng của

$$\begin{gathered} m_2^{\text{'}}=D{V}_2^{\text{'}}=D\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left({\mathrm{r}}_2^{\text{'}}\right)}^3 \\ =\mathrm{D}\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(2{\mathrm{r}}_1\right)}^3=8\mathrm{D}\frac{4}{3}{{\mathrm{\pi r}}_1}^3=8\mathrm{m} \end{gathered}$$

+ Áp dụng biểu thức tính lực hấp dẫn, ta có:

$F_{hd}^{\text{'}}=G\frac{m_1{m}_2^{\text{'}}}{r^2}=G\frac{m.8m}{r^2}=8F$

Đáp án: C

Bài 2: Biết gia tốc rơi tự do ở đỉnh và chân một ngọn núi lần lượt là 9,809m/s² và 9,810m/s². Coi Trái Đất là đồng chất và chân núi cách tâm Trái Đất 6370km. Chiều cao ngọn núi này là:

A. 324,7 m.

B. 640 m.

C. 649,4 m.

D. 325 m.

Lời giải

Gọi h là chiều cao của ngọn núi, g và g_h lần lượt là gia tốc rơi tự do tại chân núi và đỉnh núi, ta có:

$$\begin{gathered} + g=G\frac{M}{R^2}=9,810 m/s^2\left(1\right) \\ + g_h=G\frac{M}{{(R+h)}^2}=9,809 m/s^2 \left(2\right) \end{gathered}$$

Lấy $\frac{\left(1\right)}{\left(2\right)}$ ta được:

$$\begin{gathered} \frac{g}{g_h}={\left(\frac{R+h}{R}\right)}^2 \\ \to h= R\left(\sqrt{\frac{g}{g_h}}-1\right) \\ =6370\left(\sqrt{\frac{9,810}{9,809}}-1\right) \end{gathered}$$

≈ 0,3247km = 324,7m

Đáp án: A

Bài 3: Hai quả cầu bằng chì, mỗi quả có khối lượng 45 kg, bán kính 10 cm. Lực hấp dẫn giữa chúng có thể đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

A. 3,38. 10^-4 N B. 3,38. 10^-5 N C. 3,38. 10^-6 N D. 3,38. 10^-7 N

Lời giải:

$F_{hdmax}=G\frac{M_1{M}_2}{{r_{min}}^2}=\frac{6,67.{10}^{-11}.{\left(45\right)}^2}{{(20.{10}^{-2})}^2}=3,38.{10}^{-6}N$

Bài 4: Mặt trăng có khối lượng 7,5.10²² kg. Trái Đất có khối lượng 6.10²⁴kg. Khoảng cách giữa các tâm của chúng là 384000 km. Lực hấp dẫn giữa chúng có độ lớn:

A. 10²⁰ N B. 10²² N C. 2.10²² N D. 2.10²⁰ N

Lời giải:

$F_{hd}=G\frac{M_1{M}_2}{r^2}=\frac{6,67.{10}^{-11}.{(7,5.{10}^{22}.7.{10}^{24})}^2}{{(384.{10}^6)}^2}=2.{10}^{20}N$

Câu 5: Hai vật có kích thước nhỏ X và Y cách nhau 1 khoảng d (m) thì X hấp dẫn Y với một lực 16 N. Nếu khoảng cách giữa X và Y bị thay đổi thành 2d thì Y sẽ hấp dẫn X với một lực bằng:

A. 1 N B. 4 N C. 8 N D. 16 N

Lời giải:

$$\begin{gathered} F_{hd1}=G\frac{M_1{M}_2}{d^2}=16N \\ {F}_{hd2}=G\frac{M_1{M}_2}{{\left(2d\right)}^2} \\ \Rightarrow \frac{F_{hd1}}{F_{hd2}}=4\Rightarrow F_{hd2}=4N \end{gathered}$$

Câu 6: Hai quả cầu đồng chất đặt cách nhau một khoảng nào đó. Nếu bào mòn sao cho bán kính mỗi quả cầu giảm đi một nửa mà giữ nguyên khoảng cách thì lực hấp dẫn giữa chúng sẽ giảm đi:

A. 4 lần B. 8 lần C. 16 lần D. 64 lần

Lời giải:

Lực hấp dẫn ban đầu:

$F_{hd1}=G\frac{M_1{M}_2}{r^2}$

Ta có: m = D.V ( trong đó, D là khối lượng riêng của chất làm nên vật, V là thể tích của vật)

Mà thể tích hình cầu: V = $\frac{4}{3}$πr³

Nên bán kính giảm 2 lần thì thể tích giảm 2³ = 8 lần, suy ra khối lượng 2 quả cầu lúc sau giảm 8 lần so với khối lượng ban đầu

Lực hấp dẫn lúc sau:

$$\begin{gathered} F_{hd2}=G\frac{{\displaystyle \frac{M_1}{8}}.{\displaystyle \frac{M_2}{8}}}{r^2} \\ \Rightarrow \frac{F_{hd1}}{F_{hd2}}=64 lần \end{gathered}$$

Câu 7: Biết bán kính của Trái Đất là R. Lực hút của Trái Đất đặt vào một vật khi vật ở mặt đất là 45 N, khi lực hút là 5N thì vật ở độ cao h bằng:

A. 2R B. 9R C. $\frac{2R}{3}$ D. $\frac{R}{9}$

Lời giải:

$$\begin{gathered} F_{hd1}=G\frac{M_1{M}_2}{R^2}=45N \\ {F}_{hd2}=G\frac{M_1{M}_2}{{(h+R)}^2}=5N \\ \Rightarrow \frac{F_{hd1}}{F_{hd2}}=\frac{{(h+R)}^2}{R^2}=9\Rightarrow h=2R \end{gathered}$$