Công thức tính độ cứng của lò xo và cách giải các dạng bài tập (2024) chi tiết nhất

Công thức tính độ cứng của lò xo và cách giải các dạng bài tập chi tiết nhất

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

- Lò xo chỉ dãn đều nếu các vòng của nó được quấn đều đặn.

- Độ cứng của lò xo hay độ đàn hồi của lò xo phụ thuộc vào chất liệu và độ dài của lò xo.

- Kí hiệu là chữ k, đơn vị N/m.

2. Công thức

$k=\frac{F_{đh}}{\left|∆l\right|}=\frac{F_{đh}}{\left|l-l_0\right|}$

Trong đó:

+ $∆l=\left|l-l_0\right|$ độ biến dạng của lò xo (cm hoặc m).

Với $l_0$ là độ dài ban đầu của lò xo, l là độ dài lò xo khi treo vật.

+ k là độ cứng (hay hệ số đàn hồi) của lò xo, đơn vị là newton trên mét (N/m).

+ F_đh là lực đàn hồi (N)

3. Kiến thức mở rộng

- Thép và đồng thau đàn hồi rất tốt, nên lò xo thường được làm bằng thép hoặc đồng thau.

- Giả sử một lò xo có chiều dài l₀, độ cứng k₀. Cắt lò xo này thành n đoạn có chiều dài lần lượt l₁,l₂,l₃,...,l_n và độ cứng k₁, k₂, k₃,....k_n.

Khi đó ta luôn có: l₀k₀ = l₁k₁ = l₂k₂ = .... = l_nk_n

- Độ cứng k và chiều dài l có mối quan hệ tỉ lệ nghịch với nhau. Lò xo càng dài thì độ cứng càng nhỏ, lò xo càng ngắn thì độ cứng càng lớn. Lò xo có độ dài tăng bao nhiêu lần thì độ cứng giảm đi bấy nhiêu lần và ngược lại.

- Lò xo có độ cứng k₀ cắt làm hai phần bằng nhau thì k₁ = k₂ = k = 2k₀

- Lò xo cắt thành n phần bằng nhau thì k₁ = k₂ = …= k_n = nk_o

II. Bài tập vận dụng

Câu 1: Người ta dùng hai lò xo. Lò xo thứ nhất khi treo vật 9 kg có độ dãn 12cm. Lò xo thứ hai khi treo vật 3 kg thì có độ dãn 4cm. Hãy so sánh độ cứng của hai lò xo? Lấy g =10m/s².

Lời giải:

+ Khi ở vị trí cân bằng F = P => kΔl = mg

+ Với lò xo một: k₁.Δl₁ = m₁g => k₁.0,12 = 6g (1)

+ Với lò xo hai: k₂.Δl₂ = m₂g => k₂.0,04 = 2g (2)

+ Lập tỉ số $\frac{\left(1\right)}{\left(2\right)}\Rightarrow \frac{k_1.0,12}{k_2.0,04}=3\Rightarrow \frac{k_1}{k_2}=1$

Vậy hai độ cứng bằng nhau

Câu 2: Tìm độ cứng của hệ hai lò xo được nối với nhau như hai hình vẽ. Tìm độ dãn của mỗi lò xo khi treo vật m = 1kg. Biết k₁ = k₂ = 100$N/m$ ; g = 10m/s².

Lời giải:

Lò xo ghép song song:

Ta có

Mà F = F₁ + F₂ => kΔl = k₁.Δl₁ + k₂.Δl₂

=> k = k₁ + k₂ = 100 + 100 = 200 (N/m)

Khi vật cân bằng P = F_đh => mg = k.Δl

=> 1.10 = 200.Δl => Δl = 0,05m = 5cm

Câu 3: Một lò xo có chiều dào lo, độ cứng k₀ = 100 N/m, cắt lò xo làm 3 đoạn có độ dài tỉ lệ 1:2:3. Xác định độ cứng của mỗi đoạn

Lời giải:

l₀k₀ = l₁k₁ = l₂k₂ = l₃k₃

l₁ + l₂ + l₃ = l₀; l₁ : l₂ : l₃ = 1:2:3

Ta có:

$$\begin{gathered} l_1=\frac{l_0{k}_0}{k_1} mà l_0=6l_1\Rightarrow k_1=6k_0=600 N/m \\ {l}_2=\frac{l_0{k}_0}{k_2} mà l_0=3l_2\Rightarrow k_2=3k_0=300 N/m \\ {l}_3=\frac{l_0{k}_0}{k_3} mà l_0=2l_3\Rightarrow k_3=2k_0=200 N/m \end{gathered}$$

Câu 4: Lò xo có độ cứng k₁ = 400 N/m, lò xo 2 có độ cứng là k₂ = 600 N/m. Hỏi nếu ghép song song 2 lò xo thì độ cứng là bao nhiêu?

A. 100 N/m B. 1000 N/m C. 500 N/m D. 200 N/m

Lời giải:

Hai lò xo ghép song song ⇒ k = k₁ + k₂ = 400 + 600 = 1000 N/m

Câu 5: Lò xo có độ cứng k₁ = 400 N/m, lò xo 2 có độ cứng là k₂ = 600 N/m. Hỏi nếu ghép nối tiếp 2 lò xo thì độ cứng là bao nhiêu?

A. 200 N/m B. 250 N/m C. 240 N/m D. 300 N/m

Lời giải:

Hai lò xo ghép nối tiếp

$\Rightarrow \frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$

⇒ k = 240 N/m

Câu 6: Cho lò xo có chiều dài tự nhiên bằng 21 cm. Lò xo được giữ cố định một đầu, còn đầu kia chịu một lực kéo bằng 5,0 N. Khi ấy lò xo dài 25 cm. Hỏi độ cứng của lò xo bằng bao nhiêu ?

A. 1,25 N/m B. 20 N/m C. 23,8 N/m D. 125 N/m

Lời giải:

F = F_đh = k |l - l₀|

$\Rightarrow k=\frac{5}{0,25-0,21}=125 N/m$

Bài 7: Treo vật 200g vào lò xo có một đầu gắn cố định chiều dài 34 cm; treo thêm vật 100g thì lò xo dài 36 cm. Tính chiều dài ban đầu của lò xo và độ cứng của lò xo, lấy g = 10 m/s²

Lời giải:

Vì treo thêm vật nặng mà chiều dài lò xo lớn hơn suy ra đầu trên lò xo gắn cố định và chiều dài ban đầu l₀ < 34 cm

+ Khi treo vật có khối lượng m₁ = 0,2 kg:

k |l₁ - l₀| = m₁g ⇒ k |0,34 - l₀| = 2 (1)

+Khi treo thêm vật có khối lượng m₂ = 0,1 kg:

k |l₂ - l₀| = (m₁ + m₂ )g ⇒ k |0,36 - l₀| = 3 (2)

Giải (1) và (2) ⇒ l₀ = 0,3 m hoặc l₀ = 0,348 m

Áp dụng điều kiện l₀ < 0,34 m ⇒ l₀ = 0,3 m và k = 50 N/m

Bài 8: Có hai lò xo: một lò xo giãn 4 cm khi treo vật khối lượng m₁ = 2 kg; lò xo kia dãn 1 cm khi treo vật khối lượng m₂ = 1 kg. So sánh độ cứng hai lò xo.

Lời giải:

$$\begin{gathered} Ta có: ∆l=\frac{F_{đh}}{k} \\ ∆l_1=\frac{F_{đh}}{k_1}; ∆l_2=\frac{F_{đh}}{k_2} \end{gathered}$$

Mà F_đh = P = mg

$\frac{∆l_1}{∆l_2}=\frac{m_{1}g{k}_2}{m_{2}g{k}_1}\Rightarrow \frac{4}{1}=\frac{2.k_2}{k_1}\Rightarrow k_2=2k_1$

Bài 9: Một lò xo được giữ cố định một đầu. Khi tác dụng vào đầu kia của nó lực kéo F₁ = 1,8 N thì nó có chiều dài l₁ = 17 cm. Khi lực kéo là F₂ = 4,2 N thì nó có chiều dài là l₂ = 21 cm. Tính độ cứng và chiều dài tự nhiên của lò xo

Lời giải:

Lực tác dụng vào lò x_o là lực kéo suy ra lò xo bị dãn, l > l₀. Đồng thời khi lò xo đứng yên thì lực kéo cân bằng với lực đàn hồi

Ta có: F₁ = k (l₁ – l₀)

F₂ = k (l₂ – l₀)

$\Rightarrow \frac{F_1}{F_2}=\frac{l_1-l_0}{l_2-l_0}=\frac{0,17-l_0}{0,27-l_0}=\frac{1,8}{4,2}$

⇒ l₀ = 0,14 m

⇒ k = 60 N/m

Bài 10: Một lò xo có chiều dài tự nhiên là l₀ = 24 cm, độ cứng k = 100 N/m. Người ta cắt lò xo này thành hai lò xo có chiều dài là l₁ = 8 cm, l₂ = 16 cm. Tính độ cứng của mỗi lò xo tạo thành

Lời giải:

Lò xo bị cắt: k.l₀ = k₁l₁ = k₂l₂

⇒ 24.100 = k₁.8 = k₂.16

⇒ k₁ = 300 N/m; k₂ = 150 N/m