Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, góc ABD = góc ACD

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 54 trang 97 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:

a) ΔAOB đồng dạng ΔDOC;

b) ΔAOD đồng dạng ΔBOC;

c) EA.ED = EB.EC.

Lời giải:

a) Xét ΔAOB và ΔDOC, ta có:

 $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (giả thiết)

Hay $\widehat{ABO}=\widehat{OCD}$

 $\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$  (2 góc đối đỉnh)

Vậy ΔAOB đồng dạng ΔDOC (g.g).

b) Vì ΔAOB đồng dạng ΔDOC nên:

$\frac{AO}{DO}=\frac{OB}{OC}\Rightarrow \frac{AO}{OB}=\frac{DO}{OC}$

Xét ΔAOD và BOC ta có:

$\frac{AO}{OB}=\frac{DO}{OC}$ (chứng minh trên).

$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$   (đối đỉnh)

Vậy ΔAOD đồng dạng ΔBOC (c.g.c)

c) Vì ΔAOD đồng dạng ΔBOC nên: $\widehat{ADO}=\widehat{BCO}$ hay $\widehat{EDB}=\widehat{ECA}$

Xét ΔEDB và ΔECA ta có:

$\hat{E}$ chung

$\widehat{EDB}=\widehat{ECA}$ (chứng minh trên)

Vậy ΔEDB đồng dạng ΔECA (g.g)

Suy ra: $\frac{ED}{EC}=\frac{EB}{EA}$ ⇒ ED.EA = EC.EB.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 51 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. a) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho...

Bài 52 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Bài 53 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9m. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD...

Bài 55 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH.DH = BH.EH = CH.FH...

Bài 56 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P...

Bài 57 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc CD (M thuộc BC và N thuộc CD)...

Bài 58 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường thẳng vuông góc CE...

Bài 59 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D thuộc BC và E thuộc AC). Chứng minh hai tam giác DEC và ABC là hai tam giác đồng dạng...

Bài 60 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Trắc nghiệm Bài Ôn tập Chương 3 có đáp án