Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 56 trang 98 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P. Biết AP = 2PK và CP = 2PM. Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.

Lời giải:

Xét ΔPAC và ΔPKM,ta có:

$\frac{PK}{PA}=\frac{1}{2};\frac{PM}{PC}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\frac{PK}{PA}=\frac{PM}{PC}$ .

Lại có: $\widehat{APC}=\widehat{KPM}$ (đối đỉnh)

Suy ra: ΔPKM đồng dạng ΔPAC(c.g.c) với tỉ số đồng dạng $k=\frac{1}{2}$.

Suy ra: $\frac{KM}{AC}=\frac{1}{2}$  (1)

Vì ΔPKM đồng dạng ΔPAC nên $\widehat{PKM}=\widehat{PAC}$

Suy ra: KM //AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong ΔABC, ta có: KM // AC.

Suy ra: ΔBMK đồng dạng ΔBAC (g.g)

Suy ra: $\frac{BM}{BA}=\frac{BK}{BC}=\frac{MK}{AC}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{BM}{BA}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{2}$ 

Vì BM = $\frac{1}{2}$BA nên M là trung điểm AB.

Vì BK = $\frac{1}{2}$BC nên K là trung điểm BC.

Do đó CM, AK là các trung tuyến của tam giác ABC.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 51 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. a) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho...

Bài 52 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Bài 53 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9m. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD...

Bài 54 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Bài 55 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH.DH = BH.EH = CH.FH...

Bài 57 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc CD (M thuộc BC và N thuộc CD)...

Bài 58 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường thẳng vuông góc CE...

Bài 59 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D thuộc BC và E thuộc AC). Chứng minh hai tam giác DEC và ABC là hai tam giác đồng dạng...

Bài 60 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Trắc nghiệm Bài Ôn tập Chương 3 có đáp án