SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Bài 44 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức:

a) $\frac{1}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{x}{1-\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}}$;

b) $\frac{x-\frac{1}{x^2}}{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$;

c) $\frac{1-\frac{2y}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{y^2}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$;

d) $\frac{\frac{x}{4}-1+\text{\hspace{0.17em}}\frac{3}{4x}}{\frac{x}{2}-\frac{6}{x}+\frac{1}{2}}$.

Lời giải:

a) $\frac{1}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{x}{1-\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}}=\frac{1}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{x}{\frac{x+2-x}{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}}$

$=\frac{1}{2}+\frac{x}{\frac{2}{x+2}}=\frac{1}{2}+\frac{x(x+2)}{2}$

$=\frac{1+\text{}x(x+\text{}2)}{2}=\frac{1+x^2+2x}{2}=\frac{{\left(x+1\right)}^2}{2}$

b) $\frac{x-\frac{1}{x^2}}{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$

$=\left(x-\frac{1}{x^2}\right):\left(1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)$

$=\frac{x^3-1}{x{}_2}:\frac{x^2+x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x^2}$

$\begin{array}{l}=\frac{x^3-1}{x{}_2}.\frac{x^2}{x^2+x+\text{\hspace{0.17em}}1}=\frac{(x^3-1)x^2}{x{}_2(x^2+x+\text{\hspace{0.17em}}1)}\\ =\frac{(x-1)(x^2+x+1)x^2}{x{}_2(x^2+x+\text{\hspace{0.17em}}1)}=x-1\end{array}$

c) $\frac{1-\frac{2y}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{y^2}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$

$=\left(1-\frac{2y}{x}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{y^2}{x^2}\right):\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)$

$=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2}:\frac{y-x}{xy}$

$\begin{array}{l}=\frac{{(x-y)}^2}{x^2}.\frac{xy}{y-x}=\frac{{(x-y)}^{2}xy}{x^2.\text{[}-(x-y)\text{]}}\\ =\frac{(x-y)y}{x.(-1)}=\frac{-(x-y)y}{x}=\frac{y\left(y-x\right)}{x}\end{array}$

d) $\frac{\frac{x}{4}-1+\text{\hspace{0.17em}}\frac{3}{4x}}{\frac{x}{2}-\frac{6}{x}+\frac{1}{2}}$

$\begin{array}{l}=\left(\frac{x}{4}-1+\text{\hspace{0.17em}}\frac{3}{4x}\right):\left(\frac{x}{2}-\frac{6}{x}+\frac{1}{2}\right)\\ =\frac{x^2-4x+\text{\hspace{0.17em}}3}{4x}:\frac{x^2-12+x}{2x}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{x^2-4x+\text{\hspace{0.17em}}3}{4x}.\frac{2x}{x^2-12+x}\\ =\frac{(x^2-4x+\text{\hspace{0.17em}}3).2x}{4x(x^2-12+x)}=\frac{(x^2-x)-(3x-3)}{2\left[\left(x{}_2-9\right)\text{}+(x-3)\right]}\end{array}$

$$\begin{gathered} =\frac{x(x-1)-3(x-1)}{2\left[(x+\text{}3)(x-3)+(x-3)\right]} \\ =\frac{(x-3)(x-1)}{2(x+3+1)(x-3)} \end{gathered}$$

$=\frac{(x-3)(x-1)}{2(x+\text{}4)(x-3)}=\frac{x-1}{2(x\text{}+4)}$

Bài 45 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

Lời giải:

b) $\frac{4xy}{y^2-x^2}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\frac{1}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}}2xy+\text{\hspace{0.17em}}{y}^2}-\frac{1}{x^2-y^2}\right)$

$\begin{array}{l}=\frac{4xy}{y^2-x^2}:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\frac{1}{{(x+y)}^2\text{}}-\frac{1}{(x+\text{}y)(x-y)}\right)\\ =\frac{-4xy}{x^2-y^2}:\frac{1(x-y)-1.(x+y)}{{(x+y)}^2(x-y)\text{}}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{-4xy}{(x+\text{}y)(x-y)}:\frac{-2y}{{(x+y)}^2(x-y)\text{}}\\ =\frac{-4xy}{(x+\text{}y)(x-y)}.\frac{{(x+y)}^2(x-y)}{-2y}\end{array}$

$=\frac{-4xy.{(x+y)}^2(x-y)}{(x+\text{}y)(x-y)(-2y)}=2x(x+\text{}y)$

d) $\left(\frac{2}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}-\frac{4}{x^2\text{}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4x+\text{\hspace{0.17em}}4}\right):\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\frac{2}{x^2-4}+\frac{1}{2-x}\right)$

$\begin{array}{l}=\left(\frac{2}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}-\frac{4}{{(x+2)}^2\text{}}\right):\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\frac{2}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{x-2}\right)\\ =\frac{2(x+\text{}2)-4}{{(x+2)}^2\text{}}:\frac{2-1.(x+\text{}2)}{(x+2)(x-2)}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{2x}{{(x+2)}^2\text{}}:\frac{-x}{(x+2)(x-2)}\\ =\frac{2x}{{(x+2)}^2\text{}}.\frac{(x+\text{}2)(x-2)}{-x}\end{array}$

$$\begin{gathered} =\frac{2x(x+\text{}2)(x-2)}{{(x+2)}^2(-x)\text{}}=\frac{-2(x-2)}{x+2} \\ =\frac{2\left(2-x\right)}{x+2} \end{gathered}$$

Bài 46 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định:

a) $\frac{5x^2-4x+2}{20}$;

b) $\frac{8}{x+\text{\hspace{0.17em}}2004}$;

c) $\frac{4x}{3x-7}$;

d) $\frac{x^2}{x+z}$.

Lời giải:

a) Phân thức: $\frac{5x^2-4x+2}{20}$ xác định với mọi $x\in ℝ$ (vì 20 ≠ 0).

b) Phân thức: $\frac{8}{x+\text{\hspace{0.17em}}2004}$ xác định khi

x + 2004 ≠ 0 ⇒ x ≠ - 2004.

c) Phân thức: $\frac{4x}{3x-7}$ xác định khi

3x – 7 ≠ 0 $\Rightarrow x\ne \frac{7}{3}$.

d) Phân thức: $\frac{x^2}{x+z}$  xác định khi

x + z ≠ 0 ⇒ x ≠ - z.

Bài 47 trang 36 SBT Toán 8 Tập 1: Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định:

a) $\frac{5}{2x-3x^2}$;

b) $\frac{2x}{8x^3+12x^2\text{}+6x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}$;

c) $\frac{-5x^2}{16-24x+\text{\hspace{0.17em}}9x^2}$;

d) $\frac{3}{x^2-4y^2}$.

Lời giải:

a) $\frac{5}{2x-3x^2}=\frac{5}{x(2-3x)}$ xác định khi:

$x(2-3x)\ne 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ 2-3x\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne \frac{2}{3}\end{array}\right.$

Vậy phân thức $\frac{5}{2x-3x^2}$  xác định với x ≠ 0 và $x\ne \frac{2}{3}$.

b) $\frac{2x}{8x^3+12x^2\text{}+6x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=\frac{2x}{{(2x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^3}$ xác định khi (2x + 1)³ ≠ 0

Suy ra: 2x + 1 ≠ 0 $\Rightarrow x\ne \frac{-1}{2}$.

c) $\frac{-5x^2}{16-24x+\text{\hspace{0.17em}}9x^2}=\frac{-5x^2}{{(4-3x)}^2}$ xác định khi:

(4 – 3x)² ≠ 0 ⇒ 4 – 3x ≠ 0 $\Rightarrow x\ne \frac{4}{3}$.

d) $\frac{3}{x^2-4y^2}=\frac{3}{(x+2y).(x-2y)}$ xác định khi:

(x – 2y)(x + 2y) ≠ 0 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x+\text{\hspace{0.17em}}2y\ne 0\\ x-2y\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x\ne -2y\\ x\ne 2y\end{array}\right.\Rightarrow x\ne \pm 2y$

Bài 48 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Có bạn nói rằng các phân thức $\frac{2x}{2x-2};\frac{1}{x^2-2x+1};\frac{5x^3}{(x-1).(x^2+1)}$ có cùng điều kiện biến x. Điều đó đúng hay sai? Vì sao?

Lời giải:

Ta có: $\frac{2x}{2x-2}$ xác định khi

2x – 2 ≠ 0 ⇒ 2x ≠ 2 ⇒ x ≠ 1

$\frac{1}{x^2-2x+1}=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$ xác định khi

(x – 1)² ≠ 0 ⇒ x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

$\frac{5x^3}{(x-1).(x^2+1)}$ xác định khi

(x – 1)(x² + 1) ≠ 0 hay x – 1 ≠ 0

(vì với mọi x thì x² ≥ 0 nên x² + 1 > 0)

Do đó, phân thức $\frac{5x^3}{(x-1).(x^2+1)}$ xác định với x ≠ 1.

Vậy các phân thức $\frac{2x}{2x-2};\frac{1}{x^2-2x+1};\frac{5x^3}{(x-1).(x^2+1)}$  có cùng điều kiện biến x là đúng.

Bài 49 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: a) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10.

b) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác $\pm \sqrt{2}$.

Lời giải:

a)

+) Tập hợp các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10 là: {7; 9}.

+) Do đó, phân thức cần tìm xác định với x ≠ 7; x ≠ 9 .

Suy ra: x – 7 ≠ 0 và x – 9 ≠ 0

Ta chọn phân thức là  $\frac{1}{(x-7).(x-9)}$.

b) Phân thức một biến mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác $\pm \sqrt{2}$ nên $x\ne \sqrt{2}$ và $x\ne -\sqrt{2}$.

Suy ra: $x-\sqrt{2}\ne 0$ và $x+\sqrt{2}\ne 0$ ta chọn phân thức:

$\frac{a}{(x+\text{\hspace{0.17em}}\sqrt{2}).(x-\sqrt{2})}=\frac{a}{x^2-2}$

(với a là một hằng số).

Bài 50 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tìm được một cặp phân thức của biến x mà khi giá trị của phân thức này bằng 0 thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại khi giá trị phân thức kia bằng 0 thì giá trị phân này không xác định. Em tìm được bao nhiêu cặp như thế?

Lời giải:

Ta chỉ cần tìm hai phân thức là nghịch đảo của nhau với tử và mẫu đều chứa biến x và không có giá trị nào của x để tử và mẫu đồng thời bằng 0.

Ví dụ: $\frac{x+2}{x-5}$ và  $\frac{x-5}{x+2}$.

Có vô số cặp phân thức như vậy.

Bài 51 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức:

a) $\frac{3x^2-x}{9x^2-6x+\text{\hspace{0.17em}}1}$ tại x = – 8;

b) $\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}2x^2-x-2}$ tại x = 1 000 001.

Lời giải:

a) ĐKXĐ: 9x² – 6x + 1 ≠ 0 ⇒ (3x – 1)² ≠ 0

$\Rightarrow x\ne \frac{1}{3}$

 Ta có x = – 8 $\ne \frac{1}{3}$ thỏa mãn ĐKXĐ.

$\frac{3x^2-x}{9x^2-6x+\text{\hspace{0.17em}}1}=\frac{x(3x-1)}{{(3x-1)}^2}=\frac{x}{3x-1}$

Thay x = – 8 vào biểu thức, ta có: 

$\frac{-8}{3.(-8)-1}=\frac{-8}{-24-1}=\frac{8}{25}$

b) Ta có:

x³ + 2x² – x – 2 = x²(x + 2) – (x + 2)

= (x² – 1). (x + 2) = (x + 1).(x – 1)(x + 2)

Do đó, phân thức đã cho xác định khi

x³ + 2x² – x – 2 ≠ 0 hay

(x + 2)(x – 1)(x + 1) ≠ 0

⇒ x ≠ – 2 và x ≠ ± 1

Ta có: x = 1 000 001 thỏa mãn điều kiện.

$$\begin{gathered} \frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3x+\text{\hspace{0.17em}}2}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}2x^2-x-2}=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}2}{(x+\text{}2)(x-1).(x+1)} \\ =\frac{(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2).(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)(x-1)(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}=\frac{1}{x-1} \end{gathered}$$

Thay x = 1 000 001 vào biểu thức ta được: 

$\frac{1}{1000001-1}=\frac{1}{1000000}$

Bài 52 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và y):

a) $\frac{x^2-y^2}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)(6x-6y)}$.

b) $\frac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x\text{\hspace{0.17em}}+9y+\text{\hspace{0.17em}}6ay}$ 

(a là hằng số khác $\frac{-3}{2}$).

Lời giải:

a)  $\frac{x^2-y^2}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)(6x-6y)}$ xác định khi: 

(x + y)(6x – 6y) ≠ 0 .

Suy ra: 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x+y\ne 0\\ 6x-6y\ne 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x\ne -y\\ x-y\ne 0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x\ne -y\\ x\ne y\end{array}\right. \end{gathered}$$

Điều kiện x ≠ ± y, ta có:

$\frac{x^2-y^2}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)(6x-6y)}=\frac{(x+y).(x-y)}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y)\mathrm{.6.}(x-y)}=\frac{1}{6}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y.

b) $\frac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x\text{\hspace{0.17em}}+9y+\text{\hspace{0.17em}}6ay}$ xác định khi

4ax + 6x + 9y + 6ay ≠ 0

⇒ 2x(2a + 3) + 3y(2a + 3)

= (2a + 3)(2x + 3y) ≠ 0

Suy ra:

$\left\{\begin{array}{c}2a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3\ne 0\\ 2x+3y\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a\ne \frac{-3}{2}\\ x\ne \frac{-3y}{2}\end{array}\right.$.

Điều kiện: $x\ne \frac{-3}{2}y$ và $a\ne \frac{-3}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x\text{\hspace{0.17em}}+9y+\text{\hspace{0.17em}}6ay} \\ =\frac{2x(a-1)+3y(a-1)}{(2a+3).(2x+3y)} \end{gathered}$$

$=\frac{(2x+3y).(a-1)}{(2a+\text{\hspace{0.17em}}3).(2x+3y)}=\frac{a-1}{2a+3}$

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y.

Bài 53 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Đố. Đố em tìm được giá trị của x để giá trị của phân thức $\frac{4x^2-4x^3+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{x}^4}{x^3-2x^2}$ bằng:

a) – 2 ;        b) 2;          c) 0.

Lời giải:

Điều kiện: x³ – 2x² = x²(x – 2) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ 2

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{4x^2-4x^3+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{x}^4}{x^3-2x^2}=\frac{x^2(\text{}{x}^2-4x+\text{\hspace{0.17em}}4)}{x^2(x-2)} \\ =\frac{x^2{(\text{}x-2)}^2}{x^2(x-2)}=x-2 \end{gathered}$$

a) Nếu phân thức đã cho bằng – 2 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng – 2.

Suy ra: x – 2 = – 2 ⇒ x = 0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng – 2.

b) Nếu phân thức đã cho bằng 2 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng 2.

Suy ra: x – 2 = 2 ⇒ x = 4.

Với x = 4 thỏa mãn điều kiện.

Vậy khi x = 4 thì phân thức có giá trị bằng 2.

c) Nếu phân thức có giá trị bằng 0 thì biểu thức x – 2 cũng có giá trị bằng 0.

Suy ra: x – 2 = 0 ⇒ x = 2 mà x = 2 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng 0.

Bài 54 trang 37 SBT Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức $\frac{x^2+2x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}10}+\frac{x-5}{x}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{50-5x}{2x(x\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5)}$. 

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định.

b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1.

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng $\frac{-1}{2}$.

d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng – 3.

Lời giải:

a) Biểu thức xác định khi

2x + 10 ≠ 0, x ≠ 0 và 2x(x + 5) ≠ 0

Suy ra điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ – 5.

Ta có:

$\frac{x^2+2x}{2x+\text{\hspace{0.17em}}10}+\frac{x-5}{x}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{50-5x}{2x(x\text{\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5)}$

$=\frac{x(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}{2(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5)}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{x-5}{x}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{50-5x}{2x(x+\text{}5)}$

$=\frac{x^2(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}{2x(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5)}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{(x-5).2(x+5)}{x.2(x+\text{\hspace{0.17em}}5)}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{50-5x}{2x(x+\text{}5)}$

$=\frac{x^2(x+\text{\hspace{0.17em}}2)+(x-5)\mathrm{.2.}(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5)+50-5x}{2x(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5)}$

$=\frac{x^3+\text{}2x^2+\text{}2x^2-50+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}50-5x}{2x(\text{}x+\text{\hspace{0.17em}}5)}$

$=\frac{x^3+4x^2-5x}{2x(\text{}x+5)}=\frac{x(x^2+4x-5)}{2x(\text{}x+\text{\hspace{0.17em}}5)}$

$=\frac{x(x-1)(x+\text{\hspace{0.17em}}5)}{2x(\text{}x+\text{\hspace{0.17em}}5)}=\frac{x-1}{2}$

b) Nếu giá trị phân thức bằng 1 thì giá trị của biểu thức $\frac{x-1}{2}$ cũng bằng 1.

Suy ra: $\frac{x-1}{2}=1$ ⇒ x – 1 = 2 ⇒ x = 3

mà x = 3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy x = 3 thì giá trị của phân thức bằng 1.

c) Nếu giá trị phân thức bằng $\frac{-1}{2}$ thì giá trị của biểu thức $\frac{x-1}{2}$ cũng bằng $\frac{-1}{2}$

Suy ra: $\frac{x-1}{2}=\frac{-1}{2}$ ⇒ x – 1 = – 1

⇒ x = 0 mà x = 0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng $\frac{-1}{2}$ .

d) Nếu giá trị phân thức bằng – 3 thì giá trị của biểu thức $\frac{x-1}{2}$ cũng bằng – 3.

Suy ra: $\frac{x-1}{2}= -3$ ⇒ x – 1 = – 6

⇒ x = – 5 mà x = – 5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng – 3.

Bài 55 trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:

a) $\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x^2-2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=0$;

b) $\frac{3}{x-3}-\frac{6x}{9-x^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}}3}=0$.

Lời giải:

a) $\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x^2-2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}-\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}{x^2-1}=0$ (điều kiện )

$\begin{array}{l}\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}}1}{{(x-1)}^2}-\frac{2x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3}{(x+1)(x-1)}=0\\ \frac{(2x+\text{\hspace{0.17em}}1)(x+\text{\hspace{0.17em}}1)-(2x+\text{}3)(x-1)}{{(x-1)}^2(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}=0\end{array}$

$\frac{2x^2+\text{}2x+x+\text{\hspace{0.17em}}1-(2x^2-2x+\text{\hspace{0.17em}}3x-3)}{{(x-1)}^2(x+\text{}1)}=0$

$\frac{2x^2+\text{}2x+x+\text{\hspace{0.17em}}1-2x^2+2x-\text{\hspace{0.17em}}3x+3}{{(x-1)}^2(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}=0$

$\frac{2x+4}{{(x-1)}^2.(x+1)}=0$

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0

Ta có: 2x + 4 = 0 nên x = – 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với x = – 2 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

b) $\frac{3}{x-3}-\frac{6x}{9-x^2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{x}{x+\text{\hspace{0.17em}}3}=0$ (điều kiện )

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0

Ta có: x + 3 = 0 nên x = – 3 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức bằng 0.

Bài 56 trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0:

a) $\frac{x}{x^2-4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3}{{(x+2)}^2}$?

b) $\frac{1}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x-1$?

Lời giải:

a) Biểu thức xác định khi:

x² – 4 = (x + 2).(x – 2) ≠ 0

và (x + 2)² ≠ 0 hay x ≠ ± 2 .

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{x}{x^2-4}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3}{{(x+2)}^2} \\ =\frac{x}{(x+\text{}2).(x-2)}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{3}{{(x+2)}^2} \end{gathered}$$

$=\frac{x(x+\text{\hspace{0.17em}}2)+3(x-2)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}=\frac{x^2+2x+3x-6}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}$

$\begin{array}{l}=\frac{x^2+5x-6}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2(x-2)}=\frac{x^2-x+6x-6}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2(x-2)}\\ =\frac{x(x-1)+\text{\hspace{0.17em}}6(x-1)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}=\frac{(x-1)(x+6)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2.(x-2)}\end{array}$

Biểu thức bằng 0 khi (x – 1)(x + 6) = 0

và (x – 2)(x + 2)² ≠ 0

+) Ta có: (x – 1).(x + 6) = 0

khi x – 1= 0 hay x + 6 = 0

x – 1 = 0 khi x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

x + 6 = 0 khi x = – 6 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với x = 1 hoặc x = – 6 thì giá trị biểu thức bằng 0.

b) $\frac{1}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x-1$

$=\frac{1+(x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1).(x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1)}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

$=\frac{1+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{x}^3-1}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}=\frac{x^3}{x^2+\text{\hspace{0.17em}}x+\text{\hspace{0.17em}}1}$

Biểu thức bằng 0 khi

x³ = 0 và x² + x + 1 ≠ 0

Ta có: x³ = 0 ⇒ x = 0;

 $$\begin{gathered} x^2+x+1=x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2.x.\frac{1}{2}+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{4}+\frac{3}{4} \\ ={\left(x+\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}\right)}^2+\text{\hspace{0.17em}}\frac{3}{4}>0 với mọi x \end{gathered}$$

Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

Bài 57 trang 38 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên:

$a)\frac{2}{x-3}$;

$b)\frac{3}{x+2}$;

$c)\frac{3x^3-4x^2+x-1}{x-4}$

$d)\frac{3x^2-x+\text{}1}{3x+2}$

Lời giải:

a) Vì $\frac{2}{x-3}$ là một số nguyên

nên 2 ⁝ (x – 3) và x ≠ 3

Suy ra: x – 3 ∈ Ư(2) = {– 2; – 1; 1; 2}

Ta có: x – 3 = – 2

⇒ x = 1 (t/m x là số nguyên)           

x – 3 = – 1 ⇒ x = 2 (t/m)

 x – 3 = 1 ⇒ x = 4 (t/m) 

 x – 3 = 2 ⇒ x = 5 (t/m)

Vậy với x ∈ {1; 2; 4; 5} thì $\frac{2}{x-3}$ là một số nguyên.

b) Vì $\frac{3}{x+2}$ là một số nguyên

nên 3 ⁝ (x + 2) và x ≠ – 2

Suy ra: x + 2 ∈ Ư(3) = {– 3; – 1; 1; 3}

Ta có: x + 2 = – 3 ⇒ x = – 5;           

x + 2= – 1 ⇒ x = – 3;

x + 2 = 1 ⇒ x = – 1;            

x + 2 = 3 ⇒ x = 1

Vậy với x ∈ {– 5; – 3; – 1; 1}

thì $\frac{3}{x+2}$ là một số nguyên.

c) Ta có:

$\frac{3x^3-4x^2+x-1}{x-4}$

$=\frac{(\text{}3x^2\text{}+8x+\text{\hspace{0.17em}}33)(x-4)+131}{x-4}$

$=3x^2\text{}+8x+\text{\hspace{0.17em}}33+\frac{131}{x-4}$

Với x là số nguyên ta có:

3x² + 8x + 33 là số nguyên.

Để biểu thức đã cho là số nguyên thì 131 ⁝ (x – 4) và x ≠ 4

Suy ra: x – 4 ∈ Ư(131)

= {– 131; – 1; 1; 131}

Ta có: x – 4 = – 131 ⇒ x = – 127;            

x – 4 = – 1 ⇒ x = 3;

x – 4 = 1 ⇒ x = 5;            

x – 4 = 131 ⇒ x = 135

Vậy với x ∈ {– 127; 3; 5; 135}

thì $\frac{3x^3-4x^2+x-1}{x-4}$ là số nguyên.

d) Ta có: $\frac{3x^2-x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{3x+2}$

$=\frac{(\text{}3x+2).(x-1)+3}{3x+\text{\hspace{0.17em}}2}=x-1+\frac{3}{3x+2}$

(với $x\ne \frac{-2}{3}$).

Vì x là số nguyên nên x – 1 là số nguyên.

Để biểu thức đã cho là số nguyên

thì 3 ⁝ (3x + 2) và $x\ne \frac{-2}{3}$.

Suy ra: 3x + 2 ∈ Ư(3) = {– 3; – 1; 1; 3}

Ta có: 3x + 2 = – 3 ⇒  $x=\frac{-5}{3}\notin \mathbb{Z}$(loại)

3x + 2 = – 1 ⇒ x = – 1 (thỏa mãn)

3x + 2 = 1 ⇒  $x=\frac{-1}{3}\notin \mathbb{Z}$(loại)

3x + 2 = 3 ⇒ $x=\frac{1}{3}\notin \mathbb{Z}$  (loại)

Vậy với x = – 1 thì $\frac{3x^2-x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{3x+2}$ có giá trị nguyên.

Bài tập bổ sung

Bài 9.1 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Biết rằng...

Bài 9.2 trang 39 SBT Toán 8 Tập 1: Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1...

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Bài 8: Phép chia các phân thức đại số

Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Trắc nghiệm Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức có đáp án