SBT Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức

Bài 9 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn các phân thức:

a) $\frac{14x{y}^5(2x-3y)}{21x^{2}y{(2x-3y)}^2}$;

b) $\frac{8xy{(3x-1)}^3}{12x^3(1-3x)}$;

c) $\frac{20x^2-45}{{(2x+\text{\hspace{0.17em}}3)}^2}$;

d) $\frac{5x^2-10xy}{2{(2y-x)}^3}$;

e) $\frac{80x^3-125x}{3(x-3)-(x-3).(8-4x)}$;

f) $\frac{9-{(x+\text{\hspace{0.17em}}5)}^2}{x^2+4x+\text{\hspace{0.17em}}4}$;

g) $\frac{32x-8x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x^3}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}64}$;

h) $\frac{5x^3+\text{\hspace{0.17em}}5x}{x^4-1}$;

i) $\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5x+\text{\hspace{0.17em}}6}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4x+\text{\hspace{0.17em}}4}$.

Lời giải:

a) $\frac{14x{y}^5(2x-3y)}{21x^{2}y{(2x-3y)}^2}=\frac{2y^4}{3x(2x-3y)}$;

b)

$$\begin{gathered} \frac{8xy{(3x-1)}^3}{12x^3(1-3x)}=\frac{2y{(3x-1)}^3}{3x^2.\left[-(3x-1)\right]} \\ =-\frac{2y{(3x-1)}^2}{3x^2} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{20x^2-45}{{(2x+\text{\hspace{0.17em}}3)}^2}=\frac{5(4x^2-9)}{{(2x+\text{\hspace{0.17em}}3)}^2} \\ =\frac{5(2x+3)(2x-3)}{{(2x+\text{\hspace{0.17em}}3)}^2}=\frac{5(2x-3)}{2x+3} \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} \frac{5x^2-10xy}{2{(2y-x)}^3}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{5x(x-2y)}{2{(2y-x)}^3} \\ =\frac{-5x(2y-x)}{2{(2y-x)}^3}=\frac{-5x}{2{(2y-x)}^2} \end{gathered}$$

e)

$$\begin{gathered} \frac{80x^3-125x}{3(x-3)-(x-3).(8-4x)}=\frac{5x(16x^2-25)}{(x-3).(3-8+\text{\hspace{0.17em}}4x)} \\ =\frac{5x(4x+\text{\hspace{0.17em}}5)(4x-5)}{(x-3).(4x-5)}=\frac{5x(4x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5)}{x-3} \end{gathered}$$

f)

$\begin{array}{l}\frac{9-{(x+\text{\hspace{0.17em}}5)}^2}{x^2+4x+\text{\hspace{0.17em}}4}\text{\hspace{0.17em}}=\frac{\left[3+(x+\text{\hspace{0.17em}}5)\right].\left[3-(x+5)\right]}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2}\\ =\frac{(8+\text{\hspace{0.17em}}x).(-x-2)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2}=\frac{-(8+\text{\hspace{0.17em}}x).(x+2)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}2)}^2}\\ =\frac{-(8+\text{\hspace{0.17em}}x)}{x+\text{\hspace{0.17em}}2}\end{array}$

g)

$$\begin{gathered} \frac{32x-8x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x^3}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}64}=\frac{2x(16-4x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+x^2)}{(x+\text{\hspace{0.17em}}4).(x^2-4x+16)} \\ =\frac{2x}{x+\text{\hspace{0.17em}}4} \end{gathered}$$

h) $\frac{5x^3+\text{\hspace{0.17em}}5x}{x^4-1}=\frac{5x(x^2+1)}{(x^2+\text{\hspace{0.17em}}1).(x^2-1)}=\frac{5x}{x^2-1}$;

i)

$\begin{array}{l}\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}5x+\text{\hspace{0.17em}}6}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4x+\text{\hspace{0.17em}}4}=\frac{x^2+2x+3x+6}{{(x+2)}^2}\\ =\frac{x(x+2)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3(x+2)}{{(x+\text{}2)}^2}\\ =\frac{(x+3).(x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2)}{{(x+2)}^2}=\frac{x+3}{x+2}\end{array}$

Bài 10 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{x^{2}y+2x{y}^2+\text{\hspace{0.17em}}{y}^3}{2x^2+\text{}xy-y^2}=\frac{xy+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{y}^2}{2x-y}$;

b) $\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3xy+\text{\hspace{0.17em}}2y^2}{x^3+2x^{2}y-x{y}^2-2y^3}=\frac{1}{x-y}$.

Lời giải:

a)Ta có

$\begin{array}{l}VT=\frac{x^{2}y+2x{y}^2+\text{\hspace{0.17em}}{y}^3}{2x^2+\text{}xy-y^2}\\ =\frac{y(x^2+2xy+y^2)}{(x^2+xy)+\text{}(x^2-y^2)}\\ =\frac{y{(x+y)}^2}{x(x+\text{\hspace{0.17em}}y)+(x+\text{\hspace{0.17em}}y).(x-y)}\\ =\frac{y{(x+y)}^2}{(x+\text{\hspace{0.17em}}y).(x+x-y)}\\ =\frac{y(x+y)}{2x-y}=\frac{xy+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{y}^2}{2x-y}=VP\end{array}$

Đẳng thức được chứng minh.

b)Ta có:

$\begin{array}{l}VT=\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}3xy+\text{\hspace{0.17em}}2y^2}{x^3+2x^{2}y-x{y}^2-2y^3}\\ =\frac{x^2+\text{\hspace{0.17em}}xy+\text{}2xy+\text{\hspace{0.17em}}2y^2}{x^3-x{y}^2+\text{\hspace{0.17em}}2x^{2}y-2y^3}\\ =\frac{x(x+y)+2y(x+\text{\hspace{0.17em}}y)}{x(x^2-y^2)+2y\left(x{}_2-y^2\right)}\\ =\frac{(x+\text{\hspace{0.17em}}y).(x+\text{}2y)}{(x^2-y^2)(x+2y)}\\ =\frac{(x+\text{\hspace{0.17em}}y).(x+\text{}2y)}{(x+y)(x-y)(x+2y)}\\ =\frac{1}{x-y}=VP\end{array}$

Đẳng thức được chứng minh.

Bài 11 trang 26 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức $\frac{x^3-x^2-x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x^4-2x^2+1};\frac{5x^3+10x^2+\text{\hspace{0.17em}}5x}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}3x^2+3x+\text{}1}$  theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.

Lời giải:

Ta rút gọn các phân thức đã cho:

$\begin{array}{l}\frac{x^3-x^2-x+\text{\hspace{0.17em}}1}{x^4-2x^2+1}=\frac{(x^3-x^2)-(x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}{{(x^2-1)}^2}\\ =\frac{x^2(x-1)-1.(x-\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1)}{{(x^2-1)}^2}=\frac{(x-1)(x^2-1)}{{(x^2-1)}^2}\\ =\frac{x-1}{x^2-1}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{x-1}{(x+1).(x-1)}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{1}{x+1}\text{}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{5x^3+10x^2+\text{\hspace{0.17em}}5x}{x^3+\text{\hspace{0.17em}}3x^2+3x+\text{}1}=\frac{5x(x^2+\text{\hspace{0.17em}}2x+1)}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^3}\\ \\ =\frac{5x{(x+1)}^2}{{(x+\text{\hspace{0.17em}}1)}^3}=\frac{5x}{x+1}\end{array}$

Khi đó hai phân thức cần tìm là $\frac{1}{x+1}$ và $\frac{5x}{x+1}$.

Thật vậy, nếu còn có hai phân thức khác thỏa mãn điều kiện của bài toán với bậc của mẫu thức chung thấp hơn mẫu thức chung ấy phải có bậc 0 tức là một hằng số a khác 0 nào đó. Chẳng hạn, $\frac{1}{x+1}=\frac{b}{a}$. Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau ta có 1.a = b(x + 1) = bx + b. Vì a ≠ 0 nên b ≠ 0. Do đó bậc của vế phải không nhỏ hơn 1 còn bậc của vế trái lại bằng 0. Điều đó là vô lý.

Vậy hai phân thức cần tìm là $\frac{1}{x+1}$ và $\frac{5x}{x+1}$.

Bài 12 trang 27 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:

a) a²x + x = 2a⁴ – 2 với a là hằng số;

b) a²x + 3ax + 9 = a² với a là hằng số, a ≠ 0 và a ≠ – 3.

Lời giải:

a) a²x + x = 2a⁴ – 2

 x(a² + 1) = 2(a⁴ – 1)

Vì a² ≥ 0 với mọi a nên a² + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0 nên a² + 1 ≠ 0.

Suy ra:

$\begin{array}{l}x=\frac{2(a^4-1)}{a^2+1}\\ =\frac{2(a^2+1).(a^2-1)}{a^2+\text{\hspace{0.17em}}1}=2(a^2-1)\end{array}$

Vậy x = 2(a² – 1).

b) a²x + 3ax + 9 = a² 

ax(a + 3) = a² – 9

Vì a ≠ 0 và a ≠ – 3 hay a + 3 ≠ 0 nên a(a + 3) ≠ 0

Do đó:

$\begin{array}{l}x=\frac{a^2-9}{a(a+\text{}3)}\\ =\frac{(a+3)(a-3)}{a(a+\text{}3)}=\frac{a-3}{a}\end{array}$

( với $a\ne 0;a\ne -3$)

Vậy $x=\frac{a-3}{a}$.

Bài tập bổ sung

Bài 3.1 trang 27 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn phân thức...

Bài 3.2 trang 27 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn phân thức...

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Bài 8: Phép chia các phân thức đại số

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Rút gọn phân thức

Trắc nghiệm Rút gọn phân thức có đáp án