SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Với giải sách bài tập Toán lớp 8 Bài 3: Hình thang cân chi tiết được Giáo viên nhiều năm kinh nghiệm biên soạn bám sát nội dung sách bài tập Toán 8 Tập 1 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 8. 

1 1935 lượt xem
Tải về


Mục lục Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 22 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: DH = CK.

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:

AHD^  =BKC^ = 90o

AD = BC (tính chất hình thang cân)

C^  =D^ (tính chất hình thang cân)

Do đó, ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ HD = KC  (điều phải chứng minh).

Bài 23 trang 82 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.

Lời giải:

Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo (ảnh 1)

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

ADC^  =BCD^ (hai góc kề một đáy)

DC chung

Do đó: ΔADC = ΔBCD (c.g.c)

⇒ C1^  =  D1^

Trong ΔOCD ta có: C1^  =  D1^

 ⇒ ΔOCD cân tại O

⇒ OC = OD (1)

Mà AC = BD (tính chất hình thang cân)

Do đó: AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO (điều phải chứng minh).

Bài 24 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN.

a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?

b) Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng góc A^ = 40o

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N (ảnh 1)

a) ΔABC cân tại A

B^  =C^  (tính chất tam giác cân)

A^+​ B^  +C^=1800 nên B^  =  C^  =  1800  A^2 (1)

Vì AB = AC (giả thiết)

⇒ AM + BM = AN + CN

Mà BM = CN (giả thiết)

⇒ AM = AN

⇒ ΔAMN cân tại A.

⇒ M1^=N1^ =   1800  A^2 (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M1^  =  B^

⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Tứ giác BCNM là hình thang có B^  =  C^

Vậy BCNM là hình thang cân.

b) B^  =  C^1800A^2  

=18004002  =  700

M2^  +  B^ = 180o (hai góc trong cùng phía nên bù nhau)

Suy ra: M2^ = 180o - B^

 = 180o – 70o = 110o

N2^  =  M2^ = 110o (tính chất hình thang cân).

Bài 25 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF (ảnh 1)

+) Do BE và CF lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C nên ta có:

ABE^  =12B^;ACF^  =  12C^

Mà tam giác ABC cân tại A nên B^  =  C^

Suy ra: ABE^  =ACF^

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC (ΔABC cân tại A)

ABE^  =ACF^ (chứng minh trên)

A^ là góc chung

⇒ ΔAEB = ΔAFC (g.c.g)

⇒ AE = AF ⇒ ΔAEF cân tại A

⇒ AFE^  =  1800A^2

Vì tam giác ABC cân tại A nên B^  =  1800A^2 (tính chất).

AFE^=B^ 

⇒ FE // BC (có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau).

⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.

Lại có: B^=C^(tính chất tam giác cân)

Do đó hình thang BFEC là hình thang cân

Vì FE // BC nên ta có: FEB^  =EBC^ (so le trong)

Lại có: FBE^  =EBC^ ( vì BE là tia phân giác của góc B)

⇒ FBE^  =FEB^

⇒ ΔFBE cân ở F ⇒ FB = FE

⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm).

Bài 26 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải:

Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân (ảnh 1)

Giả sử ta có hình thang ABCD, AB // CD và AC = BD. Ta đi chứng min ABCD là hình thang cân

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.

Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK

Mà AC = BD (giả thiết)

Suy ra: BD = BK do đó ΔBDK cân tại B

D1^  =  K^ (tính chất hai tam giác cân)

Ta lại có: C1^  =  K^(hai góc đồng vị)

Suy ra: D1^  =  C1^

Xét ΔACD và ΔBDC:

AC = BD (giả thiết)

C1^  =  D1^ (chứng minh trên)

CD chung

Do đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c)

ADC^ = BCD^ (hai góc tương ứng)

Hình thang ABCD có ADC^  =BCD^ nên là hình thang cân.

Bài 27 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng 50o

Lời giải:

Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng 50 độ (ảnh 1)

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và D^ = 50o

C^  =  D^ (tính chất hình thang cân)

C^ = 50o

Lại có: A^  +​ D^ = 180o (hai góc trong cùng phía)

A^ = 180o - D^ 

= 180o – 50o = 130o

B^  =  A^ (tính chất hình thang cân)

Suy ra: B^ = 130o.

Bài 28 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.

Lời giải:

Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD (ảnh 1)

Ta có:

AB = AD (giả thiết)

AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ AB = BC do đó ΔABC cân tại B

BAC^  =  BCA^ (tính chất tam giác cân) (*)

Vì ABCD là hình thang có đáy là AB nên AB // CD

BAC^  =  DCA^ (hai góc so le trong) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: BCA^  =  DCA^ (cùng bằng )

Vậy CA là tia phân giác của BCD^

Bài 29 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao

Lời giải:

Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD (ảnh 1)

Ta có: OA = OC (giả thiết)

⇒ ΔOAC cân tại O

A1^=  1800  AOC^2 (tính chất tam giác cân) (1)

OB = OD (giả thiết)

⇒ ΔOBD cân tại O.

B1^=  1800  BOD^2 (tính chất tam giác cân) (2)

AOC^  =BOD^ (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: A^=B1^

⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang.

Ta có: AB = OA + OB

Và CD = OC + OD

Mà OA = OC, OB = OD

Suy ra: AB = CD.

Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

Bài 30 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE.

a) Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao

b) Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC?

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC (ảnh 1)

a) Vì AD = AE

⇒ ΔADE cân tại A nên ADE^=  1800A^2 (tính chất tam giác cân)

ΔABC cân tại A

ABC^=  1800A^2 (tính chất tam giác cân)

Suy ra: ADE^=  ABC^ mà hai góc này ở vị trí đồng vị

⇒ DE // BC (có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Do đó, tứ giác BDEC là hình thang.

Lại có: ABC^  =  ACB^ (tính chất tam giác cân) hay DBC^  =ECB^

Vậy BDEC là hình thang cân.

b) Ta có: BD = DE

⇒ ΔBDE cân tại D

Suy ra: B1^=  E1^

E1^=  B2^ (so le trong)

⇒ B1^=  B2^

DE = EC ⇒ ΔDEC cân tại E

⇒ CDE^=  C1^

CDE^=  C2^(so le trong)

⇒ C1^=  C2^

Vậy khi BE là tia phân giác của ABC^ , CD là tia phân giác của ACB^thì BD = DE = EC.

Bài 31 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.

Lời giải:

Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC (ảnh 1)

Ta có: ADC^  =BCD^ (do ABCD là hình thang cân)

⇒ ODC^  =  OCD^

⇒ΔOCD cân tại O

Suy ra:  OC = OD

Hay OB + BC = OA + AD

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét ΔADC và ΔBCD:

AD = BC (tính chất hình thang cân )

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đó ΔADC = ΔBCD (c.c.c)

D1^=C1^

⇒ΔEDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

Mà E ≠ O nên OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

Mà E ≠ O nên OE là đường trung trực của AB.

Bài 32 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1:

a) Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = b , đáy lớn CD = a, đường cao AH. Chứng minh rằng HD​  =  ab2  ;​   HC=a+​  b2(a, b có cùng đơn vị đo).

b) Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm.

Lời giải:

Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = b , đáy lớn CD = a, đường cao AH (ảnh 1)

a) Kẻ đường cao BK

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:

AHD^  =  BKC^ = 90o

AD = BC (tính chất hình thang cân)

D^=  C^ (ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ HD = KC.

Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK

a – b = DC – AB = DC – HK

= HD + KC = 2HD

Suy ra: HD​  =  ab2

HC=DCHD

​  =a  ab2=a+b2 ( điều phải chứng minh).

b) Áp dụng kết quả ý a:

Ta có: 

HD ​=  CD​    AB2  =  26102=  8cm

Trong tam giác vuông AHD có AHD^ = 90o

AD2 = AH2 + HD2 (định lý Py-ta-go)

⇒ AH2 = AD2 - HD2

AH2 = l72 - 82= 289 – 64 = 225

AH = 15 (cm).

Bài 33 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.

Lời giải:

Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC (ảnh 1)

Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)

ABD^​ =BDC^(so le trong)

ADB^​ =BDC^ (do DB là tia phân giác của góc D )

⇒ ABD^​ =ADB^

Suy ra: ΔABD cân tại A.

⇒ AB = AD = 3 (cm)

Vì ΔBDC vuông tại B nên BDC^+C^ = 90o

ADC^  =C^ (do ABCD là hình thang cân) và BDC^=  12ADC^

Suy ra: BDC^=  12C^

Khi đó; C^+12C^  =  900

C^  =  600

Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE

⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)

BEC^  =ADC^ (đồng vị)

Suy ra: BEC^  =  C^

⇒ΔBEC cân tại B có C^ = 60o

Suy ra: ΔBEC đều

⇒ EC = BC = 3 (cm)

Ta có: CD = CE + ED

= 3 + 3 = 6(cm)

Chu vi hình thang ABCD bằng:

AB + BC + CD + DA

= 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm)

Bài tập bổ sung

Bài 3.1 trang 83 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB// CD) có = 70o. Khẳng định nào dưới đây là đúng?...

Bài 3.2 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB// CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh...

Bài 3.3 trang 84 SBT Toán 8 Tập 1: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có , DB là tia phân giác của góc D. Tính các cạnh của hình thang...

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 4: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Bài 5: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang

Bài 6: Đối xứng trục

Bài 7: Hình bình hành

Bài 8: Đối xứng tâm

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Hình thang cân có đáp án

1 1935 lượt xem
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: