Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O

Giải SBT Toán 8 Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 60 trang 98 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB). Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau.

Lời giải:

Gọi Q là giao điểm của PF và AK, I là giao điểm của PE và CL.

Trong ΔFPE ta có: PE // AK hay QM // PE

Suy ra: $\frac{F\text{}Q}{F\text{}P}=\frac{FM}{F\text{}E}$  (định lí ta-lét) (1)

Trong ΔALO ta có:PF // CL hay FQ // LO

Suy ra: $\frac{A\text{}F}{AL}=\frac{FQ}{L\text{}O}$ (định lí ta-lét) (2).

Trong ΔALC ta có: PF // CL

Suy ra:$\frac{A\text{}F}{AL}=\frac{FP}{CL}$   (định lí ta-lét) (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\frac{FQ}{LO}=\frac{FP}{CL}\Rightarrow \frac{FQ}{FP}=\frac{LO}{CL}$ .

Vì LO = $\frac{1}{3}$CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến, nên O là trọng tâm tam giác BAC) nên $\frac{F\text{}Q}{FP}=\frac{1}{3}$  (4)

Từ (1) và (4) suy ra: $\frac{F\text{}M}{FE}=\frac{1}{3}\Rightarrow \text{}FM=\frac{1}{3}F\text{}E$ .

Trong ΔEPF ta có: PF // CL hay NI // PF

Suy ra: $\frac{EI}{EP}=\frac{EN}{E\text{}F}$ (định lí ta –lét) (5)

Trong ΔCKO ta có: EI // OK

Suy ra: $\frac{CE}{CK}=\frac{EI}{KO}$  (định lí ta –lét) (6)

Trong ΔCKA ta có: PE // AK

Suy ra: $\frac{CE}{CK}=\frac{EP}{AK}$  (định lí ta –lét) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: $\frac{EI}{OK}=\frac{EP}{AK}\Rightarrow \frac{EI}{EP}=\frac{OK}{AK}$ .

Vì OK = $\frac{1}{3}$AK (O là trọng tâm tam giác ABC) nên $\frac{EI}{EP}=\frac{1}{3}$  (8)

Từ (5) và (8) suy ra: $\frac{EN}{EF}=\frac{1}{3}\Rightarrow EN=\frac{1}{3}EF$.

Ta có: MN = EF - (EN + FM) = $E\text{}F-\left(\frac{1}{3}\text{}EF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\frac{1}{3}\text{}EF\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\frac{1}{3}\text{}EF$

Vậy EN = MN = NF  (điều phải chứng minh).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 51 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. a) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho...

Bài 52 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Bài 53 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12cm, BC = b = 9m. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD...

Bài 54 trang 97 SBT Toán 8 Tập 2: Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Bài 55 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng: AH.DH = BH.EH = CH.FH...

Bài 56 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại P...

Bài 57 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc CD (M thuộc BC và N thuộc CD)...

Bài 58 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường thẳng vuông góc CE...

Bài 59 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D thuộc BC và E thuộc AC). Chứng minh hai tam giác DEC và ABC là hai tam giác đồng dạng...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Trắc nghiệm Bài Ôn tập Chương 3 có đáp án