Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE/ED = p/q

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Bài 11 trang 85 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho $\frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}$. Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F. Chứng minh rằng: $E\text{}F=\frac{p.CD+q.AB}{p+\text{\hspace{0.17em}}q}$ .

Lời giải:

Kẻ đường chéo AC cắt EF tại I.

Trong ΔADC, ta có: EI // CD

Suy ra: $\frac{AE}{AD}=\frac{EI}{CD}$

Suy ra: $EI=\frac{AE}{AD}.CD\left(1\right)$  

Lại có: $\frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}$ (giả thiết)

Suy ra: $\frac{AE}{AD}=\frac{AE}{AE+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}ED}=\frac{p}{q+p}\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra: $EI=\frac{p}{p+\text{}q}.CD$ .

Trong ΔABC, ta có: FI // AB

Suy ra: $\frac{BF}{FC}=\frac{AI}{IC}$ (định lí ta-lét) (3)

Trong ΔADC, ta có : EI // CD

Suy ra: $\frac{AE}{ED}=\frac{AI}{IC}$ (định lí ta-lét) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{ED}=\frac{p}{q}$

Trong ΔABC, ta có: IF // AB

Suy ra: $\text{}\frac{IF}{AB}=\frac{CF}{CB}$  (định lí ta-lét)

Suy ra: $\text{}I\text{}F=\frac{CF}{CB}.AB$  ( 5)

Ta có: $\frac{BF}{C\text{}F}=\frac{p}{q}$ ( chứng minh trên)

Suy ra: 

$$\begin{gathered} \frac{CF\text{}}{B\text{}F}=\frac{q}{p}\Rightarrow \frac{CF\text{}}{C\text{}F+BF}=\frac{q}{p+q} \\ \Rightarrow \frac{CF\text{}}{BC}=\frac{q}{p+q}\text{ (6)} \end{gathered}$$

Từ (5) và (6) suy ra: $\text{}IF=\frac{q}{p+\text{}q}AB$

Vậy: 

$$\begin{gathered} E\text{}F=EI+IF \\ =\frac{p}{p+\text{}q}.CD+\text{\hspace{0.17em}}\frac{q}{p+\text{}q}.AB \\ =\frac{p.CD+\text{}qAB}{p+\text{}q} \end{gathered}$$

(điều phải chứng minh).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB...

Bài 7 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình vẽ bên Cho biết MN // BC, AB = 25cm, BC = 45cm, AM = 16cm, AN = 10cm...

Bài 8 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Hình vẽ cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm...

Bài 9 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Bài 10 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo...

Bài 12 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N theo thứ tự là...

Bài 13 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M...

Bài 14 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O song song...

Bài 15 trang 86 SBT Toán 8 Tập 2: Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài tương ứng là m, n, p. Hãy dựng đoạn thẳng thứ tư có độ dài...

Bài 16 trang 86 SBT Toán 8 Tập 2: Cho đoạn thẳng AB = 3cm, CD = 5cm, EF = 2cm. Hãy dựng đoạn thẳng thứ tư...

Bài 2.1 trang 86 SBT Toán 8 Tập 2: Hình bs.1 cho biết AB // CD, O ∈ MN, MN = 5cm, OB = 1,5cm, OD = 4,5cm, MB = 1cm...

Bài 2.2 trang 86 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại O. Chứng minh rằng OM.OC = ON.OB...

Bài 2.3 trang 86 SBT Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta - lét

Trắc nghiệm Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-let có đáp án