Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM

Giải SBT Toán 8 Bài 9: Hình chữ nhật

Bài 123 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh rằng $\widehat{HAB}=\widehat{MAC}$.

b) Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kể từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

Lời giải:

a) Ta có: AH ⊥ BC (giả thiết)

⇒ $\widehat{HAB}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{B}$ = 90^o

Lại có: $\widehat{B}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{C}$ = 90^o (vì ΔABC có $\widehat{A}$= 90^o)

Suy ra $\widehat{HAB}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{C}$ (1).

Vì ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

⇒ AM = MC = $\frac{1}{2}$BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ ΔMAC cân tại M

⇒ $\widehat{MAC}=\widehat{C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{HAB}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{MAC}$

b) Xét tứ giác ADHE, ta có:

$\widehat{A}$ = 90^o (giả thiết)

$\widehat{ADH}$ = 90^o (vì HD ⊥ AB)

$\widehat{AEH}$ = 90^o (vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

+ Xét ∆ ADH và ∆ EHD có :

DH chung

AD = EH ( vì ADHE là hình chữ nhật)

$\widehat{ADN}=\widehat{EHD}$ = 90^o

Suy ra: ∆ ADH = ∆ EHD (c.g.c)

⇒ $\widehat{HAD}=\widehat{HED}$

Lại có: $\widehat{HED}+\widehat{AED}=\widehat{HEA}$ = 90^o

Suy ra: $\widehat{AED}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{HAD}$ = 90^o

Mà  $\widehat{HAD}=\text{\hspace{0.17em}}\widehat{MAE}$ (chứng minh trên)

⇒ $\widehat{AED}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{MAE}$ = 90^o

Gọi I là giao điểm của AM và DE.

Trong ΔAIE ta có:

 $\widehat{AIE}$ = 180^o – ($\widehat{AED}+\text{\hspace{0.17em}}\widehat{MAE}$ )

= 180^o - 90^o = 90^o

Vậy AM ⊥ DE.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 106 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết các cạnh a = 3cm, b = 5cm...

Bài 107 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong hình chữ nhật: a) Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình...

Bài 108 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm và 10cm...

Bài 109 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Tính x trong hình 16 (đơn vị đo: cm)...

Bài 110 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của hình bỉnh hành cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật...

Bài 111 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA...

Bài 112 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm các hình chữ nhật trên hình 17 (trong hình 17b, O là tâm đường tròn)...

Bài 113 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Các câu sau đúng hay sai? a) Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau...

Bài 114 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc...

Bài 115 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M...

Bài 116 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HD = 2cm, HB = 6cm...

Bài 117 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng ba điểm C, B, D trên hình 18 thẳng hàng...

Bài 118 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH...

Bài 119 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, BC...

Bài 120 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC...

Bài 121 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B, C...

Bài 122 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC...

Bài 9.1 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Một hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng 4cm và 6cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó...

Bài 9.2 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC...

Bài 9.3 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh bên AD, BC...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Hình chữ nhật có đáp án