Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm

Giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình vuông

Bài 147 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi H là giao điểm của AQ và DP, gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh rằng PHQK là hình vuông.

Lời giải:

* Xét tứ giác APQD, ta có:

AB // CD hay AP // QD

AP = $\frac{1}{2}$.AB

QD = $\frac{1}{2}$CD

AB = CD (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra: AP = QD

Xét tứ giác APQD có:

AP = QD

AP // QD

Do đó, tứ giác APQD là hình bình hành.

Lại có: $\hat{A}$ = 90^o (vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra tứ giác APQD là hình chữ nhật.

Mà AD = AP = $\frac{1}{2}$AB.

Vậy tứ giác APQD là hình vuông.

⇒ AQ ⊥ PD (tính chất hình vuông)

⇒ $\widehat{PHQ}$ = 90^o 

HP = HQ (tính chất hình vuông)

* Xét tứ giác PBCQ, ta có:

AB // CD hay BP //CQ

PB = $\frac{1}{2}$AB

CQ = $\frac{1}{2}$CD

AB = CD do ABCD là hình chữ nhật.

Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Lại có: $\hat{B}$ = 90^o (vì ABCD là hình chữ nhật)

Suy ra tứ giác PBCQ là hình chữ nhật.

Lại có: PB = BC (vì cùng bằng AD = $\frac{1}{2}$AB)

Vậy tứ giác PBCQ là hình vuông

⇒ PC ⊥ BQ (tính chất hình vuông)

⇒ $\widehat{PKQ}$ = 90^o 

PD là tia phân giác $\widehat{APQ}$ (tính chất hình vuông)

PC là tia phân giác $\widehat{QPB}$ (tính chất hình vuông)

Suy ra: PD ⊥ PC (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

⇒$\widehat{HPK}$ = 90^o 

Xét tứ giác PHQK có:

$\widehat{PHQ}$ = 90^o (chứng minh trên)

$\widehat{HPK}$ = 90^o (chứng minh trên)

$\widehat{PKQ}$ = 90^o (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác PHQK là hình chữ nhật

Mặt khác, PH = HQ (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác PHQK là hình vuông.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 144 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC...

Bài 145 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ...

Bài 146 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ...

Bài 148 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC...

Bài 149 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm F, trên cạnh DC lấy điểm E sao cho AF = DE...

Bài 150 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc...

Bài 151 trang 98 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F...

Bài 152 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh DC lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối của tia ED...

Bài 153 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH...

Bài 154 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE...

Bài 155 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC...

Bài 156 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Vẽ điểm E trong hình vuông sao cho $\widehat{EDC}=\widehat{ECD}$ = 15^o...

Bài 12.1 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Hình vuông có chu vi bằng 8 thì đường chéo bằng...

Bài 12.2 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh O...

Bài 12.3 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh DC lấy điểm E, trên cạnh BC lấy điểm F sao cho DE = CF...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Hình vuông có đáp án