Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 1 - Phần Hình học

Bài 162 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

a) Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c) Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông.

Lời giải:

a) * Xét tứ giác AEFD, ta có:

AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) hay AE // FD

AE = $\frac{1}{2}$AB (vì E là trung điểm AB)

FD = $\frac{1}{2}$CD (vì F là trung điểm của CD)

Suy ra: AE = FD.

Do đó, tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Lại có: AD = AE = $\frac{1}{2}$AB .

Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.

* Xét tứ giác AECF, ta có:

AE // CF (do ABCD là hình bình hành)

AE = $\frac{1}{2}$AB (giả thiết)

CF = $\frac{1}{2}$CD (giả thiết)

Suy ra: AE = CF.

Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

b) Tứ giác AEFD là hình thoi

⇒ AF ⊥ ED ⇒ $\widehat{EMF}$ = 90^o

AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành)

Mà AF ⊥ ED

Nên CE ⊥ ED ⇒ $\widehat{MEN}$ = 90^o

Xét tứ giác EBFD, ta có:

EB = FD (vì cùng bằng AE)

EB // FD (vì AB // CD)

Tứ giác EBFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đổi song song và bằng nhau) ⇒ DE // BF

Mà DE ⊥ AF

Nên BF ⊥ AF ⇒ $\widehat{MFN}$ = 90°

Xét tứ giác MENF có:

$\widehat{MFN}$ = 90°

$\widehat{EMF}$ = 90^o

$\widehat{MEN}$ = 90^o

Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c) Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình vuông ⇒ ME = MF

ME = $\frac{1}{2}$DE (tính chất hình thoi)

MF = $\frac{1}{2}$AF (tính chất hình thoi)

Suy ra: DE = AF.

⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

⇒$\hat{A}$ = 90^o ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒$\hat{A}$ = 90^o

Hình thoi AEFD có $\hat{A}$ = 90^o nên AEFD là hình vuông

⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vuông)

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có 2 cạnh kề bằng nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 157 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA...

Bài 158 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB...

Bài 159 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB...

Bài 160 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, DB...

Bài 161 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB...

Bài 163 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD...

Bài 164 trang 101 SBT Toán 8 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP...

Bài I.1 trang 101 SBT Toán 8 Tập 1: Điền vào chỗ trống : a) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là...

Bài I.2 trang 101 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 1 có đáp án