Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

Giải SBT Toán Bài 5: Diện tích hình thoi

Bài 5.2 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QM.

a) Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

b) Tính diện tích của tứ giác XYZT.

Lời giải:

a) Trong ΔABD ta có:

M là trung điểm của AB và Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của ΔABD.

⇒ MQ // BD và MQ = $\frac{1}{2}$BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ΔCBD ta có:

N là trung điểm của BC và P là trung điểm của CD

Nên NP là đường trung bình của ΔCBD

⇒ NP // BD và NP = $\frac{1}{2}$BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Ta có: AC ⊥ BD ( giả thiết) và MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ.

Trong ΔABC có MN là đường trung bình

⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay $\widehat{NMQ}$= 90^o

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b) Kẻ đường chéo MP và NQ.

Trong ΔMNP ta có:

X là trung điểm của MN và Y là trung điểm của NP

Nên XY là đường trung bình của ΔMNP

⇒ XY // MP và XY = $\frac{1}{2}$MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong ΔQMP ta có:

T là trung điểm của QM và Z là trung điểm của QP

Nên TZ là đường trung bình của ΔQMP

⇒ TZ // MP và TZ = $\frac{1}{2}$MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.

Trong ΔMNQ ta có XT là đường trung bình

⇒ XT = $\frac{1}{2}$QN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ

Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi

Ta có: S_XYZT = $\frac{1}{2}$XZ. TY

Mà XZ = MQ = $\frac{1}{2}$BD

= $\frac{1}{2}$. 8 = 4 (cm);

TY = MN = $\frac{1}{2}$AC

= $\frac{1}{2}$.6 = 3 (cm).

Vậy : S_XYZT = $\frac{1}{2}$. 3. 4 = 6 (cm²)

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 42 trang 162 SBT Toán 8 Tập 1: Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất...

Bài 43 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài 6,2cm và một trong các góc của nó bằng 30°...

Bài 44 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD, biết AB = 5cm, AI = 3cm (I là giao điểm của hai đường chéo). Hãy tính diện tích hình thoi...

Bài 45 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: a) Hãy vẽ một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết độ dài hai đường chéo đó là a và $\frac{1}{2}$ a ...

Bài 46 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Hai đường chéo hình thoi có độ dài là 16 cm và 12 cm. Tính: a) Diện tích hình thoi...

Bài 5.1 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: a) Sử dụng kéo cắt đúng 2 lần, theo đường thẳng, chia một hình chữ nhật thành ba phần...

Bài 5.3 trang 163 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC, có hai cạnh góc vuông là AC = 6cm và AB = 8cm. Trên cạnh AC lấy điểm D...