Cho tam giác ABC vuông tại A, chân H của đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 8.3 trang 96 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, chân H của đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài 4cm và 9cm.

Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Tính độ dài DE

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh M là trung điểm của BH , N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông ABH và CAH có:

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (cùng phụ với góc $\widehat{BAH}$)

Do đó ∆ ABH đồng dạng ∆CAH (g.g).

Suy ra: $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$.

⇒AH² = BH. CH = 4.9 = 36 ⇒ AH = 6(cm)

Mặt khác, HD ⊥ AB và HE ⊥ AC nên ADHE là hình chữ nhật.

Suy ra: DE = AH = 6 (cm).

b) Vì ADHE là hình chữ nhật nên OD = OH

Suy ra, tam giác ODH cân tại O

⇒ $\widehat{ODH}=\widehat{OHD}$

Mà

$\begin{array}{l}\widehat{ODH}+\widehat{MDH}={90}^0;\\ \widehat{OHD}\text{}+\widehat{MHD}={90}^0\\ \Rightarrow \widehat{MDH}=\widehat{MHD}\end{array}$

Xét tam giác MBD có:

 $\widehat{MDB}=\widehat{MBD}$  (vì cùng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat{MDH}=\widehat{MHD}$)

Suy ra, tam giác MBD cân tại M.

Do đó MD = MB (2)

Từ (1) và (2) suy ra, MB = MH.

Vậy M là trung điểm của BH.

Tương tự, ta cũng có N là trung điểm của CH.

c) Theo chứng minh trên, ta có:

DM = MH = $\frac{1}{2}$BH = $\frac{1}{2}$.4 = 2(cm)

EN = NH = $\frac{1}{2}$CH = $\frac{1}{2}$.9 = 4,5(cm)

DE = AH = 6(cm).

DENM là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:

S_DENM = $\frac{1}{2}$(DM + EN).DE

= $\frac{1}{2}$.(2 + 4,5).6 = 19,5(cm²).

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 44 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm. Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AC tại D, cắt BC tại M. Tính độ dài của đoạn thẳng CD...

Bài 45 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình thang vuông ABCD ( $\hat{A}=\hat{D}=90°$$$); AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD, đặt đoạn AE = 8cm...

Bài 46 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC)...

Bài 47 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Trên hình vẽ hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các cặp tam giác đồng dạng theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng...

Bài 48 trang 95 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC ( $\hat{A}=90°$) có đường cao AH. Chứng minh rằng AH² = BH.CH...

Bài 49 trang 96 SBT Toán 8 Tập 2: Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn...

Bài 50 trang 96 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác vuông ABC ( $\hat{A}=90°$) có đường cao AH và trung tuyến AM...

Bài 8.1 trang 96 SBT Toán 8 Tập 2: Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy một điểm A sao cho OA = 8,65cm...

Bài 8.2 trang 96 SBT Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = n = 10,85cm và cạnh AB = m = 12,5cm...