Chuyên đề Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (2022) - Toán 8

Chuyên đề Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối - Toán 8

A. Lý thuyết

1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a, được kí hiệu là | a |, ta định nghĩa như sau:

Ví dụ: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức sau:

a) A = | x - 1 | + 3 - x khi x ≥ 1.

b) B = 3x - 1 + | - 2x | khi x < 0.

Hướng dẫn:

a) Khi x ≥ 1 ta có x - 1 ≥ 0 nên | x - 1 | = x - 1

Do đó A = | x - 1 | + 3 - x = x - 1 + 3 - x = 2.

b) Khi x < 0 ta có - 2x > 0 nên | - 2x | = - 2x

Do đó B = 3x - 1 + | - 2x | = 3x - 1 - 2x = x - 1.

2. Giải một số phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Phương pháp chung

Bước 1: Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

Bước 2: Giải các bất phương trình không có dấu giá trị tuyệt đối

Bước 3: Chọn nghiệm thích hợp trong từng trường hợp đang xét

Bước 4: Kết luận nghiệm

b) Một số dạng cơ bản

Dạng | A | = | B | ⇔ A = B hay A = - B.

Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối

+ Xét dấu các biểu thức chứa ẩn nằm trong dấu GTTĐ.

+ Chia trục số thành nhiều khoảng sao cho trong mỗi khoảng, các biểu thức nói trên có dấu xác định.

+ Xét từng khoảng, khử các dấu GTTĐ, rồi giải PT tương ứng trong trường hợp đó.

+ Kết hợp các trường hợp đã xét, suy ra số nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ: Giải bất phương trình | 4x | = 3x + 1

Hướng dẫn:

Ta có | 4x | = 3x + 1

+ Với x ≥ 0 ta có | 4x | = 4x

Khi đó phương trình trở thành 4x = 3x + 1

⇔ 4x - 3x = 1 ⇔ x = 1.

Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0, nên 1 là một nghiệm của phương trình đã cho

+ Với x < 0 ta có | 4x | = - 4x

Khi đó phương trình trở thành - 4x = 3x + 1

⇔ - 4x - 3x = 1 ⇔ - 4x = 1 ⇔ x = - 1/7.

Giá trị x = - $\frac{1}{7}$ thỏa mãn điều kiện x < 0, nên - $\frac{1}{7}$ là một nghiệm cần tìm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - $\frac{1}{7}$;1 }

B. Trắc nghiệm & Tự luận

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Biểu thức A = | 4x | + 2x - 1 với x < 0, rút gọn được kết quả là?

A. A = 6x - 1

B. A = 1 - 2x

C. A = - 1 - 2x

D. A = 1 - 6x

Ta có: x < 0 ⇒ | 4x | = - 4x

Khi đó ta có: A = | 4x | + 2x - 1 = - 4x + 2x - 1 = - 2x - 1

Chọn đáp án C.

Bài 2: Tập nghiệm của phương trình: | 3x + 1 | = 5

A. S = {- 2} 

B. S = {4/3} 

C. S = {- 2;4/3} 

D. S = {Ø}

Ta có: | 3x + 1 | = 5

⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {- 2;4/3}

Chọn đáp án C.

Bài 3: Tập nghiệm của phương trình | 2 - 3x | = | 2 - 5x | là?

A. S = {- 3;1} 

B. S = {- 3;7/5} 

C. S = {0;7/5} 

D. S = { - 3;1 }

Ta có: | 2 - 3x | = | 2 - 5x |

⇔ 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 3;7/5}

Chọn đáp án B.

Bài 4: Giá trị m để phương trình | 3 + x | = m có nghiệm x = - 1 là?

A. m = 2 

B. m = - 2 

C. m = 1 

D. m = - 1

Phương trình đã cho có nghiệm x = - 1 nên ta có: |3 + (- 1)| = m ⇔ m = 2.

Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.

Chọn đáp án B.

Bài 5: Giá trị của m để phương trình | x - m | = 2 có nghiệm là x = 1?

A. m ∈ {1} 

B. m ∈ {- 1;3} 

C. m ∈ {- 1;0} 

D. m ∈ {1;2}

Phương trình có nghiệm x = 1, khi đó ta có:| 1 - m | = 2

⇔ 

Vậy giá trị m cần tìm là m ∈ { - 1;3 }

Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3x + 2 + | 5x | với x > 0.

b) A = | 4x | - 2x + 12 với x < 0.

c) A = | x - 4 | - x + 1 với x < 4

Hướng dẫn:

a) Với x > 0 ⇒ | 5x | = 5x

Khi đó ta có: A = 3x + 2 + | 5x | = 3x + 2 + 5x = 8x + 2

Vậy A = 8x + 2.

b) Ta có: x < 0 ⇒ | 4x | = - 4x

Khi đó ta có: A = | 4x | - 2x + 12 = - 4x - 2x + 12 = 12 - 6x

Vậy A = 12 - 6x.

c) Ta có: x < 4 ⇒ | x - 4 | = 4 - x

Khi đó ta có: A = | x - 4 | - x + 1 = 4 - x - x + 1 = 5 - 2x.

Vậy A = 5 - 2x

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) | 2x | = x - 6

b) | - 5x | - 16 = 3x

c) | 4x | = 2x + 12

d) | x + 3 | = 3x - 1

Hướng dẫn:

a) Ta có: | 2x | = x - 6

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 2x = x - 6 ⇔ x = - 6.

Không thỏa mãn điều kiện x ≥ 0.

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 2x = x - 6 ⇔ - 3x = - 6 ⇔ x = 2.

Không thỏa mãn điều kiện x < 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Ta có: | - 5x | - 16 = 3x

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 5x - 16 = 3x ⇔ 2x = 16 ⇔ x = 8

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 5x - 16 = 3x ⇔ 8x = - 16 ⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = { - 2;8 }

c) Ta có: | 4x | = 2x + 12

+ Với x ≥ 0, phương trình tương đương: 4x = 2x + 12 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6

Thỏa mãn điều kiện x ≥ 0

+ Với x < 0, phương trình tương đương: - 4x = 2x + 12 ⇔ - 6x = 12 ⇔ x = - 2

Thỏa mãn điều kiện x < 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 2;6}

d) Ta có: | x + 3 | = 3x - 1

+ Với x ≥ - 3, phương trình tương đương: x + 3 = 3x + 1 ⇔ - 2x = - 2 ⇔ x = 1.

Thỏa mãn điều kiện x ≥ - 3

+ Với x < - 3, phương trình tương đương: - x - 3 = 3x + 1 ⇔ - 4x = 4 ⇔ x = - 1

Không thỏa mã điều kiện x < - 3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Chuyên đề Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Chuyên đề Bất phương trình một ẩn

Chuyên đề Bất phương trình bậc nhất một ẩn