Chuyên đề Đường trung bình của tam giác, của hình thang (2022) - Toán 8

Chuyên đề Đường trung bình của tam giác, của hình thang - Toán 8

A. Lý thuyết

1. Đường trung bình của tam giác

* Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

Bài toán: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở E. Chứng minh rằng AE = EC.

→ Chứng minh:

+ Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC tại M.

+ Xét tứ giác DEMB có: DE // BC (gt)

→ DEMB là hình thang (dhnb)

Mà EM // DB à DB = EM (tính chất)

+ Có D là trung điểm của AB (gt)

Mà DB = EM (cmt)

→ AD = EM

+ Có DE // BC → (đồng vị)

Mà EM // AB → (đồng vị)

Suy ra 

+ Xét  và  có:

(cmt)

AD = EM (cmt)

(vị trí đồng vị, EM //AB)

Suy ra (g – c - g) → AE = EC hay E là trung điểm của.

* DE được gọi là đường trung bình của tam giác ABC.

→ Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

* Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thú ba và bằng nửa cạnh ấy.

Bài toán: Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Chứng minh rằng DE//BC và 

→ Chứng minh:

+ Trên tia đối của tia ED, lấy điểm F sao cho E là trung điểm của DF.

+ Xét  và  có:

AE = EC (E là trung điểm của AC)

(đối đỉnh)

ED = EF (E là trung điểm của DF)

Suy ra (c – g – c) → AD = CF và (cạnh và góc tương ứng)

+ Có AD = DB (D là trung điểm của AB) và AD = CF (cmt) → DB = CF.

+ Có , hai góc ở vị trí so le trong nên AD // CF hay DB // CF

→ DBCF là hình thang

+ Xét hình thang DBCF có DB = CF nên DF = BC và DF // BC

→ DE // BC và 

2. Đường trung bình của hình thang

* Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Bài toán: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E là trung điểm của AD. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB và DC cắt BC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm của BC.

→ Chứng minh:

+ Nối AC cắt EF tại M

+ Xét tam giác ADC có:

E là trung điểm của AD (gt)

EM // DC

→ M là trung điểm của AC (định lý)

+ Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AC (cmt)

MF // AB

→ F là trung điểm của BC (định lý)

* EF được gọi là đường trung bình của hình thang ABCD.

→ Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

* Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Bài toán: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng EF//AB, EF // CD và 

→ Chứng minh:

+ Kéo dài AF cắt DC tại M

+ Xét và có:

(đối đỉnh)

BF = FC (F là trung điểm của BC)

(AB // CM – so le trong)

Suy ra (g – c – g) → AF = FM và AB = CM (cạnh tương ứng)

+ Xét tam giác ADM có:

E là trung điểm của AD

F là trung điểm của AM

Suy ra EF là đường trung bình của tam giác ADM

→ EF // DK hay EF // CD và EF // AB và (định lý)

+ Có DK = DC + CK = DC + AB nên 

B. Bài tập

I. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC, Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM

Lời giải:

Gọi E là trung điểm của DC

Trong ΔBDC, ta có:

M là trung điểm của BC (gt)

E là trung điểm của CD (gt)

Nên ME là đường trung bình của ∆BCD

⇒ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác)

Suy ra: DI // ME

AD = 1/2 DC (gt)

DE = 1/2 DC (cách vẽ)

⇒ AD = DE và DI//ME

Nên AI= IM (tính chất đường trung bình của tam giác).

Câu 2: Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thắng hàng.

Lời giải:

* Hình thang ABCD có AB // CD

E là trung điểm của AD (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD

EF // CD (tỉnh chất đưòng trung bình hình thang) (1)

* Trong ∆ADC ta có:

E là trung điểm của AD (gt)

I là trung điểm của AC (gt)

Nên EI là đường trung bình của ∆ADC

⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề ƠClít ta có đường thẳng EF và EI trùng nhau. Vậy E, F, I thẳng hàng

Câu 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung đếm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng: EI//CD, IF//AB

Lời giải:

Trong tam giác ADC, ta có:

E là trung điểm của AD (gt)

I là trung điểm của AC (gt)

Nên EI là đường trung bình của ΔADC

⇒EI // CD (tỉnh chất đường trung bình của tam giác) và EI = CD / 2

* Trong tam giác ABC, ta có:

I là trung điểm của AC

F là trung điểm của BC

Nên IF là đường trung bình của ΔABC

⇒IF // AB (tỉnh chất đường trung bình của tam giác) và IF= AB / 2

Câu 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6Cm, CD = l4cm. Tính độ dài MI, IK, KN.

Lời giải:

Hình thang ABCD có AB // CD

M là trung điểm của AD (gt)

N là trung điểm của BC (gt)

Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ MN//AB// CD

MN = (AB + CD) / 2 = (6 + 14) / 2 = 10 (cm)

* Trong tam giác ADC, ta có:

M là trung điểm của AD

MK // CD

⇒ AK= KC và MK là đường trung bình của ΔADC.

⇒ MK = 1/2 CD = 1/2 .14= 7 (cm)

Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 (cm)

* Trong ΔADB, ta có:

M là trung điểm của AD

MI // AB nên DI = IB

⇒ MI là đường trung bình của ΔDAB

⇒ MI = 1/2 AB = 1/2 .6 = 3 (cm)

IK = MK – Ml = 7 – 3 = 4 (cm)

Câu 5: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE//IK, DE= IK.

Lời giải:

* Trong ∆ABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của AC (gt)

Nên ED là đường trung bình của ∆ABC

⇒ ED//BC và ED = BC/2 (tính chất đường trung bình của tam giác) (l)

* Trong ∆GBC, ta có:

I là trung điểm của BG (gt)

K là trúng điểm của CG (gt)

Nên IK là đường trung bình của ∆GBC

⇒ IK // BC và IK = BC/2 (tỉnh chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (l) và (2) suy ra: IK // DE, IK = DE.

II. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Chọn câu đúng.

A. Đường trung bình của hình thang là đường nối trung điểm hai cạnh đáy hình thang.

B. Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

C. Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.

D. Đường trung bình của tam giác là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.

Lời giải

+ Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác nên B đúng.

+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang nên A, D sai.

+ Trong một tam giác có ba đường trung bình nên C sai.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 2: Chọn câu đúng. Cho hình vẽ sau. Đường trung bình của tam giác ABC là:

A. DE

B. DF

C. EF

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải

Xét tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC nên DE, DF, EF là ba đường trung bình của tam giác ABC.

Đáp án cần chọn là: D

Bài 3: Hãy chọn câu sai.

A. Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.

B. Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa hiệu hai đáy.

C. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy.

D. Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứu ba bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải

+ Độ dài đường trung bình hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên đáp án B sai.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 4: Hãy chọn câu đúng. Cho hình thang ABCD có AB // CD. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Khi đó:

Lời giải

Từ giả thiết ta thấy MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

Suy ra 

Đáp án cần chọn là: C

Bài 5: Hãy chọn câu đúng?

Cho tam giác ABC có chu vi 32cm. Gọi E, F, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Chu vi của tam giác EFP là:

A. 17 cm

B. 33 cm

C. 15 cm

D. 16 cm

Lời giải

Vì E, F, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA nên EF; EP; FP là các đường trung bình của tam giác ABC.

Hay chu vi tam giác EFP = 1/2 chu vi tam giác ABC.

Do đó chu vi tam giác EFP là: 32 : 2 = 16 cm.

Đáp án cần chọn là: D

Xem thêm các bài Chuyên đề Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Hình thang

Chuyên đề Hình thang cân

Chuyên đề Đối xứng trục

Chuyên đề Hình bình hành

Chuyên đề Đối xứng tâm