Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB = 2a. Ở phía ngoài tam giác

Giải SBT Toán 8 Bài: Ôn tập chương 2 - Phần Hình học

Bài 56 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 2AB = 2a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều AGC.

a) Tính các góc B, C, cạnh AC và diện tích tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng FA vuông góc với BE và CG. Tính diện tích các tam giác FAG và FBE.

c) Tính diện tích tứ giác DEFG.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm của BC, ta có:

AM = MB = BC = a (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Suy ra MA = MB = AB = a.

Suy ra ΔAMB đều

⇒ $\widehat{ABC}$= 60^o

Mặt khác: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}$ = 90° (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: $\widehat{ACB}$ = 90^o - $\widehat{A\text{}BC}$

 = 90^o – 60^o = 30^o

Trong tam giác vuông ABC, theo Pi-ta-go, ta có:

BC² = AB²+ AC²

⇒ AC² = BC² - AB² 

= 4a² - a² = 3a² 

⇒ AC = $a\sqrt{3}$

Vậy S_ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC

$=\frac{1}{2}a.a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$  ( đvdt).

b) Ta có: $\widehat{FAB}=\widehat{ABC}$ = 60^o

Do đó: FA // BC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Và BC ⊥ BE (vì BCDE là hình vuông)

Suy ra: FA ⊥ BE

Vì BC ⊥ CD (vì BCDE là hình vuông) và FA // BC

Suy ra: FA ⊥ CD

Gọi giao điểm BE và FA là H, FA và CD là K.

⇒ BH ⊥ FA và FH = HA = $\frac{a}{2}$ (tính chất tam giác đều)

Ta có:

$\widehat{ACG}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\widehat{ACB}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\widehat{BCD}$

 = 60^o + 30^o + 90^o = 180^o

⇒ G, C, D thẳng hàng

⇒ AK ⊥ CG và GK = KC $=\frac{1}{2}GC=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

S_FAG = $\frac{1}{2}$GK.AF

= $\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

S_FBE = $\frac{1}{2}$FH.BE

= $\frac{1}{2}.\frac{a}{2}$.2a = $\frac{1}{2}$a² (đvdt)

c) S_BCDE = BC² = (2a)² = 4a² (dvdt)

Trong tam giác vuông BHA, theo Pi-ta-go, ta có:

AH² + BH² = AB²

⇒ BH² = AB² - AH² 

=$a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

$\hspace{0.17em}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

S_ABF = $\frac{1}{2}$BH.FA

=  $\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a$

$\hspace{0.17em}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

Trong tam giác vuông AKC, theo Pi-ta-go, ta có:

AC² = AK² + KC²

⇒ AK² = AC² - KC² 

$=3a^2-\frac{3a^2}{4}=\frac{9a^2}{4}$

$\Rightarrow AK=\frac{3a}{2}$

S_ACG = AK.CG

= $\frac{1}{2}.\frac{3a}{2}.a\sqrt{3}$

$\hspace{0.17em}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ ( đvdt)

Ta có:

S_DEFG = S_BCDE + S_FBE + S_FAB + S_FAG + S_ACG + S_ABC

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 51 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó...

Bài 52 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC. a) Tính tỉ số đường cao BB’, CC’ xuất phát từ đỉnh B, C...

Bài 53 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng l cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b...

Bài 54 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Tam giác ABC có hai trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo AM và BN...

Bài 55 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K và L là hai điểm thuộc BC sao cho BK = KL = LC. Tính tỉ số diện tích của...

Bài II.1 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Xét các tam giác có đỉnh...

Bài II.2 trang 166 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình lục giác ABCDEF, có AB = BC = 3cm và ED = 4cm. Biết rằng ED song song với AB, AB...

Bài II.3 trang 167 SBT Toán 8 Tập 1: Cho lục giác đều MNPQRS (h.bs.27). Gọi X, Y, Z tương ứng là trung điểm của các cạnh MN, PQ và RS...

Bài II.4 trang 167 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác MNPQ và các kích thước đã cho trên hình bs.28. Diện tích tam giác MQP bằng...

Bài II.5 trang 167 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bs.29, trong đó HK = KF = FL = LT và tam giác GHT có diện tích S. Khi đó...

Bài II.6 trang 167 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bs.30 (hình bình hành MNPQ có diện tích S và X, Y tương ứng là trung điểm của các cạnh QP, PN)...

Bài II.7 trang 168 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bs.31, (R là điểm bất kì trên QS, S là điểm bất kì trên NO, hình thang NOPQ có diện tích S)...

Bài II.8 trang 168 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác MNP. Điểm T nằm trong tam giác MNP sao cho các tam giác TMN, TMP, TPN có diện tích bằng nhau...

Bài II.9 trang 168 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bs.32 (tam giác MNP vuông tại đỉnh M và NRQP, PUTM, MKHN đều là hình vuông...

Bài II.10 trang 169 SBT Toán 8 Tập 1: Nếu độ dài cạnh của một hình vuông tăng gấp bốn lần thì diện tích hình vuông đó tăng lên bao nhiêu lần...

Bài II.11 trang 169 SBT Toán 8 Tập 1: Nếu một hình chữ nhật có chu vi là 16 (cm) và diện tích là 12 (cm²) thì độ dài hai cạnh của nó bằng...

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài Ôn tập Chương 2 có đáp án